1.Легка
Систему «маса — пружина — демпфер» описує y″ + 2y′ + 4y = 0. Порівняйте її з y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 і знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.
y″ + 2y′ + 4y = 0
ζ =
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Систему «маса — пружина — демпфер» описує y″ + 10y′ + 100y = 0. Порівняйте її з y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 і знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.
y″ + 10y′ + 100y = 0
ζ =
3.Середня
Чашку кави температурою 89 °C залишили в кімнаті з температурою 20 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). За k = 0,04 min⁻¹ знайдіть її температуру T через 11 min.
T0 = 89 °CTa = 20 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 11 min
T = °C
4.Середня
Банку газованого напою температурою 5 °C дістали з холодильника в кімнату з температурою 29 °C. Через 29 min її температура становить 27 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.
T0 = 5 °CTa = 29 °CT(29) = 27 °C
k = min⁻¹
5.Складна
Система підпорядковується y″ + 3y′ + 27,25y = 54,5 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть пікове значення ymax її відгуку на одиничний стрибок.
y″ + 3y′ + 27,25y = 54,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Складна
Розв’яжіть y″ + 2y′ + 17y = 0 при y(0) = 1 і y′(0) = 0 (відпущено зі стану спокою). Знайдіть y(0,75); кути в радіанах.
y″ + 2y′ + 17y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(0.75) =
Ключ відповідей
- 1. ζ = 0,5
- 2. ζ = 0,5
- 3. T = 64,44 °C
- 4. k = 0,08569 min⁻¹
- 5. ymax = 2,779
- 6. y(0.75) = −0,451
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.