1.Легка
Радіоактивний індикатор має період напіврозпаду 4 діб. Зразок спочатку містить 200 mg. Розпад відбувається за законом dm/dt = −k·m. Скільки m залишиться через 7 діб?
m0 = 200 mgt½ = 4 dt = 7 d
m = mg
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Величина зростає за законом dy/dt = k·y з k > 0. Вона дорівнює 500 при t = 0 і 1450 при t = 7 h. Знайдіть константу швидкості k в h⁻¹.
y(0) = 500y(7) = 1450
k = h⁻¹
3.Середня
Кувану сталеву деталь температурою 300 °C залишили остигати в цеху з температурою 26 °C. Через 40 min її температура становить 81 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.
T0 = 300 °CTa = 26 °CT(40) = 81 °C
k = min⁻¹
4.Середня
Кувану сталеву деталь температурою 460 °C залишили остигати в цеху з температурою 22 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). За k = 0,05 min⁻¹ знайдіть її температуру T через 34 min.
T0 = 460 °CTa = 22 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 34 min
T = °C
5.Складна
Розв’яжіть y″ + 2y′ + 10y = 0 при y(0) = 5 і y′(0) = 0 (відпущено зі стану спокою). Знайдіть y(0,75); кути в радіанах.
y″ + 2y′ + 10y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(0.75) =
6.Складна
Розв’яжіть y″ + 4y′ + 13y = 0 при y(0) = 3 і y′(0) = 0 (відпущено зі стану спокою). Знайдіть y(0,75); кути в радіанах.
y″ + 4y′ + 13y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(0.75) =
Ключ відповідей
- 1. m = 59,46 mg
- 2. k = 0,1521 h⁻¹
- 3. k = 0,04014 min⁻¹
- 4. T = 102 °C
- 5. y(0.75) = −0,8711
- 6. y(0.75) = −0,07327
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.