1.Легка
Радіоактивний індикатор має період напіврозпаду 6 діб. Зразок спочатку містить 50 mg. Розпад відбувається за законом dm/dt = −k·m. Скільки m залишиться через 4 діб?
m0 = 50 mgt½ = 6 dt = 4 d
m = mg
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Величина спадає за законом dy/dt = −k·y з k > 0. Вона дорівнює 200 при t = 0 і 40 при t = 8 h. Знайдіть константу швидкості k в h⁻¹.
y(0) = 200y(8) = 40
k = h⁻¹
3.Середня
Чашку кави температурою 87 °C залишили в кімнаті з температурою 19 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). За k = 0,12 min⁻¹ знайдіть її температуру T через 25 min.
T0 = 87 °CTa = 19 °Ck = 0,12 min⁻¹t = 25 min
T = °C
4.Середня
Розв’яжіть y″ + 6y′ + 9y = 0 при y(0) = 3 і y′(0) = 1. Знайдіть y(1).
y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 3y′(0) = 1
y(1) =
5.Складна
Система підпорядковується y″ + 4y′ + 20y = 20 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть y(0,75); кути в радіанах.
y″ + 4y′ + 20y = 20y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
6.Складна
Система підпорядковується y″ + y′ + 4,25y = 4,25 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть пікове значення ymax її відгуку на одиничний стрибок.
y″ + y′ + 4,25y = 4,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Ключ відповідей
- 1. m = 31,5 mg
- 2. k = 0,2012 h⁻¹
- 3. T = 22,39 °C
- 4. y(1) = 0,6472
- 5. y(0.75) = 1,205
- 6. ymax = 1,456
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.