1.Легка
Величина зростає за законом dy/dt = k·y з k > 0. Вона дорівнює 120 при t = 0 і 180 при t = 9 h. Знайдіть константу швидкості k в h⁻¹.
y(0) = 120y(9) = 180
k = h⁻¹
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Систему «маса — пружина — демпфер» описує y″ + 0,8y′ + 4y = 0. Порівняйте її з y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 і знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.
y″ + 0,8y′ + 4y = 0
ζ =
3.Середня
Чашку кави температурою 86 °C залишили в кімнаті з температурою 19 °C. Через 19 min її температура становить 50 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.
T0 = 86 °CTa = 19 °CT(19) = 50 °C
k = min⁻¹
4.Середня
Розв’яжіть y″ + 8y′ + 16y = 0 при y(0) = 1 і y′(0) = -2. Знайдіть y(0,5).
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 1y′(0) = -2
y(0.5) =
5.Складна
Розв’яжіть задачу Коші y′ + 2y/x = 6 при x > 0, y(1) = 0. Знайдіть y(3).
y′ + 2y/x = 6y(1) = 0
y(3) =
6.Складна
Система підпорядковується y″ + 3y′ + 18,25y = 18,25 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть пікове значення ymax її відгуку на одиничний стрибок.
y″ + 3y′ + 18,25y = 18,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Ключ відповідей
- 1. k = 0,04505 h⁻¹
- 2. ζ = 0,2
- 3. k = 0,04056 min⁻¹
- 4. y(0.5) = 0,2707
- 5. y(3) = 5,778
- 6. ymax = 1,308
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.