1.Легка
Систему «маса — пружина — демпфер» описує y″ + 4,8y′ + 9y = 0. Порівняйте її з y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 і знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.
y″ + 4,8y′ + 9y = 0
ζ =
Робочий аркуш «Диференціальні рівняння» з відповідями
2.Легка
Радіоактивний індикатор має період напіврозпаду 10 діб. Зразок спочатку містить 10 mg. Розпад відбувається за законом dm/dt = −k·m. Скільки m залишиться через 28 діб?
m0 = 10 mgt½ = 10 dt = 28 d
m = mg
3.Середня
Чашку кави температурою 92 °C залишили в кімнаті з температурою 21 °C. Через 15 min її температура становить 42 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через який час від початку, t, вона досягне 62 °C?
T0 = 92 °CTa = 21 °CT(15) = 42 °CT = 62 °C
t = min
4.Середня
Кувану сталеву деталь температурою 440 °C залишили остигати в цеху з температурою 22 °C. Через 25 min її температура становить 176 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.
T0 = 440 °CTa = 22 °CT(25) = 176 °C
k = min⁻¹
5.Складна
Бак містить 400 L чистої води. Розсіл із 0,05 kg солі на літр надходить зі швидкістю 20 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Скільки солі m буде в баку через 5 min?
V = 400 Lm0 = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 20 L/min
m = kg
6.Складна
Розв’яжіть задачу Коші y′ + y/x = 1 при x > 0, y(1) = −1. Знайдіть y(3).
y′ + y/x = 1y(1) = −1
y(3) =
Ключ відповідей
- 1. ζ = 0,8
- 2. m = 1,436 mg
- 3. t = 6,762 min
- 4. k = 0,03994 min⁻¹
- 5. m = 4,424 kg
- 6. y(3) = 1
Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.