Робочий аркуш «Диференціальне числення функцій багатьох змінних» з відповідями

Безкоштовний робочий аркуш для друку «Диференціальне числення функцій багатьох змінних»: 6 задач від легких до рівня іспиту, з ключем відповідей. Роздрукуйте його або збережіть як PDF.

Новий робочий аркушТренуватися онлайн з підказками

Для викладачів: можна безкоштовно друкувати, копіювати й використовувати на заняттях. Кожен новий аркуш має нові значення і власні відповіді. Будемо вдячні за посилання на ExamProblems на сторінці вашого курсу.

Ім’я: ____________________   Дата: ____________

1.Легка
xy−10,5P

Для f(x, y) = −2x³e−y знайдіть частинну похідну ∂f/∂y у точці (−1, 0,5).

f(x, y) = −2x³e−yP = (−1, 0,5)
fy(−1, 0.5) =
2.Легка

Для f(x, y) = sin(−3x + y) знайдіть мішану другу частинну похідну ∂²f/∂x∂y у (0,5, 2).

f(x, y) = sin(−3x + y)P = (0,5, 2)
fxy(0.5, 2) =
3.Середня
xy0,50,5∇fP

Для f(x, y) = 3y·e3xy знайдіть напрямок найшвидшого зростання в (0,5, 0,5) як кут θ від додатної осі x, у градусах між −180° і 180°.

f(x, y) = 3y·e3xyP = (0,5, 0,5)
θ = °
4.Середня
xy−12∇fP

Для f(x, y) = 5x²y − 3x² − y² + 3xy знайдіть максимальну швидкість зміни f у точці (−1, 2), тобто |∇f|.

f(x, y) = 5x²y − 3x² − y² + 3xyP = (−1, 2)
|∇f| =
5.Складна
xy−505−2024(3, 3)(−3, 3)

Знайдіть критичні точки f(x, y) = x³ − 27x + y² − 6y, класифікуйте їх і дайте значення fmin функції f у її локальному мінімумі.

f(x, y) = x³ − 27x + y² − 6y
fmin =
6.Складна
xy2

Скористайтеся полярними координатами, щоб обчислити I = ∬R x dA, де R — чверть круга x² + y² ≤ 4 у першій чверті.

f = x0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π/2
I =

Ключ відповідей

  1. 1. fy(−1, 0.5) = −1,213
  2. 2. fxy(0.5, 2) = 1,438
  3. 3. θ = 66,8 °
  4. 4. |∇f| = 8,246
  5. 5. fmin = −63
  6. 6. I = 2,667

Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.