Робочий аркуш «Диференціальне числення функцій багатьох змінних» з відповідями

Безкоштовний робочий аркуш для друку «Диференціальне числення функцій багатьох змінних»: 6 задач від легких до рівня іспиту, з ключем відповідей. Роздрукуйте його або збережіть як PDF.

Новий робочий аркушТренуватися онлайн з підказками

Для викладачів: можна безкоштовно друкувати, копіювати й використовувати на заняттях. Кожен новий аркуш має нові значення і власні відповіді. Будемо вдячні за посилання на ExamProblems на сторінці вашого курсу.

Ім’я: ____________________   Дата: ____________

1.Легка
xy11P

Для f(x, y) = 2 sin(−2x − 2y) знайдіть частинну похідну ∂f/∂x у точці (1, 1).

f(x, y) = 2 sin(−2x − 2y)P = (1, 1)
fx(1, 1) =
2.Легка

Для f(x, y) = −x³y³ − x³ + 3xy знайдіть другу частинну похідну ∂²f/∂x² у (−1, 2).

f(x, y) = −x³y³ − x³ + 3xyP = (−1, 2)
fxx(−1, 2) =
3.Середня
xy1−1∇fP

Для f(x, y) = 3x³y³ − x² + 5y³ − 4xy знайдіть максимальну швидкість зміни f у точці (1, −1), тобто |∇f|.

f(x, y) = 3x³y³ − x² + 5y³ − 4xyP = (1, −1)
|∇f| =
4.Середня
xy22P

Дотичну площину до z = 3 ln(x² + y²) у точці, де (x, y) = (2, 2), можна записати як z = px + qy + c. Знайдіть c.

f(x, y) = 3 ln(x² + y²)(a, b) = (2, 2)
c =
5.Складна
xy−20202(1, 2)(−1, 2)

f(x, y) = −x³ + 3x − y² + 4y має критичну точку в (1, 2). Обчисліть там дискримінант D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = −x³ + 3x − y² + 4yP = (1, 2)
D =
6.Складна
xy2

Скористайтеся полярними координатами, щоб обчислити I = ∬R (x² + y²) dA, де R — чверть круга x² + y² ≤ 4 у першій чверті.

f = x² + y²0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π/2
I =

Ключ відповідей

  1. 1. fx(1, 1) = 2,615
  2. 2. fxx(−1, 2) = 54
  3. 3. |∇f| = 21,19
  4. 4. c = 0,2383
  5. 5. D = 12
  6. 6. I = 6,283

Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.