Робочий аркуш «Диференціальне числення функцій багатьох змінних» з відповідями

Безкоштовний робочий аркуш для друку «Диференціальне числення функцій багатьох змінних»: 6 задач від легких до рівня іспиту, з ключем відповідей. Роздрукуйте його або збережіть як PDF.

Новий робочий аркушТренуватися онлайн з підказками

Для викладачів: можна безкоштовно друкувати, копіювати й використовувати на заняттях. Кожен новий аркуш має нові значення і власні відповіді. Будемо вдячні за посилання на ExamProblems на сторінці вашого курсу.

Ім’я: ____________________   Дата: ____________

1.Легка

Для f(x, y) = 4x³y² + x³ + 5y² знайдіть мішану другу частинну похідну ∂²f/∂x∂y у (2, −2).

f(x, y) = 4x³y² + x³ + 5y²P = (2, −2)
fxy(2, −2) =
2.Легка
xy−11P

Для f(x, y) = 3x²y − 2y³ + 2xy знайдіть частинну похідну ∂f/∂y у точці (−1, 1).

f(x, y) = 3x²y − 2y³ + 2xyP = (−1, 1)
fy(−1, 1) =
3.Середня
xy−4−2002PQ

Для f(x, y) = x³e2y знайдіть похідну за напрямом Duf у точці P(−1, 0) у напрямку до Q(−4, 2).

f(x, y) = x³e2yP = (−1, 0)Q = (−4, 2)
Duf =
4.Середня
xy1−2∇fP

Для f(x, y) = −4x³y² − x² + y³ − 3xy знайдіть максимальну швидкість зміни f у точці (1, −2), тобто |∇f|.

f(x, y) = −4x³y² − x² + y³ − 3xyP = (1, −2)
|∇f| =
5.Складна
xyy = 0,8y = x0,80,8

Інтеграл I = ∫00,8 ∫x0,8 sin(y²) dy dx не можна обчислити в такому порядку. Змініть порядок інтегрування й обчисліть його.

f = sin(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 0,8
I =
6.Складна
xy−202−202(0, 0)(1, 1)(−1, −1)

Знайдіть критичні точки f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy, класифікуйте їх і дайте значення fmin функції f у її локальному мінімумі.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy
fmin =

Ключ відповідей

  1. 1. fxy(2, −2) = −192
  2. 2. fy(−1, 1) = −5
  3. 3. Duf = −3,606
  4. 4. |∇f| = 50,61
  5. 5. I = 0,09895
  6. 6. fmin = −2

Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.