Робочий аркуш «Диференціальне числення функцій багатьох змінних» з відповідями

Безкоштовний робочий аркуш для друку «Диференціальне числення функцій багатьох змінних»: 6 задач від легких до рівня іспиту, з ключем відповідей. Роздрукуйте його або збережіть як PDF.

Новий робочий аркушТренуватися онлайн з підказками

Для викладачів: можна безкоштовно друкувати, копіювати й використовувати на заняттях. Кожен новий аркуш має нові значення і власні відповіді. Будемо вдячні за посилання на ExamProblems на сторінці вашого курсу.

Ім’я: ____________________   Дата: ____________

1.Легка
xyx = 1y = 212

Обчисліть I = ∫01 ∫02 (−xy + 1) dy dx по прямокутнику 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.

f = −xy + 10 ≤ x ≤ 10 ≤ y ≤ 2
I =
2.Легка
xy−32P

Для f(x, y) = −2x²y² − 3y² + 2xy знайдіть частинну похідну ∂f/∂y у точці (−3, 2).

f(x, y) = −2x²y² − 3y² + 2xyP = (−3, 2)
fy(−3, 2) =
3.Середня
xy−3−2−101−1012vP

Для f(x, y) = 2 ln(x² + 3y²) знайдіть похідну за напрямом Duf у (−1, 0,5) у напрямку v = (1, 1).

f(x, y) = 2 ln(x² + 3y²)P = (−1, 0,5)v = (1, 1)
Duf =
4.Середня
xy11P

Скористайтеся дотичною площиною до f(x, y) = 4x²y³ − x³ + 3y² − xy у (1, 1), щоб наблизити f(1,1, 1,2). Дайте лінійне наближення L.

f(x, y) = 4x²y³ − x³ + 3y² − xy(a, b) = (1, 1)(x, y) = (1,1, 1,2)
L =
5.Складна
xy3

Скористайтеся полярними координатами, щоб обчислити I = ∬R (x² + y²) dA, де R — круг x² + y² ≤ 9.

f = x² + y²0 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ 2π
I =
6.Складна
xy−202−202(2, 0)(−2, 0)

Знайдіть критичні точки f(x, y) = x³ − 12x + y², класифікуйте їх і дайте значення fmin функції f у її локальному мінімумі.

f(x, y) = x³ − 12x + y²
fmin =

Ключ відповідей

  1. 1. I = 1
  2. 2. fy(−3, 2) = −90
  3. 3. Duf = 0,8081
  4. 4. L = 8,8
  5. 5. I = 127,2
  6. 6. fmin = −16

Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.