Робочий аркуш «Диференціальне числення функцій багатьох змінних» з відповідями

Безкоштовний робочий аркуш для друку «Диференціальне числення функцій багатьох змінних»: 6 задач від легких до рівня іспиту, з ключем відповідей. Роздрукуйте його або збережіть як PDF.

Новий робочий аркушТренуватися онлайн з підказками

Для викладачів: можна безкоштовно друкувати, копіювати й використовувати на заняттях. Кожен новий аркуш має нові значення і власні відповіді. Будемо вдячні за посилання на ExamProblems на сторінці вашого курсу.

Ім’я: ____________________   Дата: ____________

1.Легка

Для f(x, y) = x²y³ − 3x² − 3y³ − xy знайдіть другу частинну похідну ∂²f/∂y² у (1, −1).

f(x, y) = x²y³ − 3x² − 3y³ − xyP = (1, −1)
fyy(1, −1) =
2.Легка
xy1−3P

Для f(x, y) = −x²y³ − 4x³ + 5y³ + xy знайдіть частинну похідну ∂f/∂x у точці (1, −3).

f(x, y) = −x²y³ − 4x³ + 5y³ + xyP = (1, −3)
fx(1, −3) =
3.Середня

z = 2xy + 5x³ − 2y², де x = −3t − 2 і y = 2t². Скористайтеся правилом ланцюга, щоб знайти dz/dt за t = −1.

z = 2xy + 5x³ − 2y²x = −3t − 2y = 2t²t = −1
dz/dt =
4.Середня
xy05−4−20PQ

Для f(x, y) = x²y − 4x³ + y² − 3xy знайдіть похідну за напрямом Duf у точці P(3, −2) у напрямку до Q(5, −3).

f(x, y) = x²y − 4x³ + y² − 3xyP = (3, −2)Q = (5, −3)
Duf =
5.Складна
xy−202−202(0, 0)(2, 2)(−2, −2)

Знайдіть критичні точки f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy, класифікуйте їх і дайте значення fmin функції f у її локальному мінімумі.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy
fmin =
6.Складна
xy1,5

Скористайтеся полярними координатами, щоб обчислити I = ∬R x dA, де R — чверть круга x² + y² ≤ 2,25 у першій чверті.

f = x0 ≤ r ≤ 1,50 ≤ θ ≤ π/2
I =

Ключ відповідей

  1. 1. fyy(1, −1) = 12
  2. 2. fx(1, −3) = 39
  3. 3. dz/dt = −33
  4. 4. Duf = −100,2
  5. 5. fmin = −32
  6. 6. I = 1,125

Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.