Робочий аркуш «Диференціальне числення функцій багатьох змінних» з відповідями

Безкоштовний робочий аркуш для друку «Диференціальне числення функцій багатьох змінних»: 6 задач від легких до рівня іспиту, з ключем відповідей. Роздрукуйте його або збережіть як PDF.

Новий робочий аркушТренуватися онлайн з підказками

Для викладачів: можна безкоштовно друкувати, копіювати й використовувати на заняттях. Кожен новий аркуш має нові значення і власні відповіді. Будемо вдячні за посилання на ExamProblems на сторінці вашого курсу.

Ім’я: ____________________   Дата: ____________

1.Легка

Для f(x, y) = x²y² − 3x³ + 4y² + 4xy знайдіть мішану другу частинну похідну ∂²f/∂x∂y у (2, 1).

f(x, y) = x²y² − 3x³ + 4y² + 4xyP = (2, 1)
fxy(2, 1) =
2.Легка
xyx = 2x = 3y = 5y = 22352

Обчисліть I = ∫23 ∫25 (3y + 3) dy dx по прямокутнику 2 ≤ x ≤ 3, 2 ≤ y ≤ 5.

f = 3y + 32 ≤ x ≤ 32 ≤ y ≤ 5
I =
3.Середня
xy024−202PQ

Для f(x, y) = −y·e−xy знайдіть похідну за напрямом Duf у точці P(0,5, 0,5) у напрямку до Q(3,5, −1,5).

f(x, y) = −y·e−xyP = (0,5, 0,5)Q = (3,5, −1,5)
Duf =
4.Середня
xy024602vP

Для f(x, y) = sin(−3x + 2y) знайдіть похідну за напрямом Duf у (2, 1) у напрямку v = (4, 2).

f(x, y) = sin(−3x + 2y)P = (2, 1)v = (4, 2)
Duf =
5.Складна
xy02−1012(0, 0)(1, 1)

Знайдіть критичні точки f(x, y) = x³ + y³ − 3xy, класифікуйте їх і дайте значення fmin функції f у її локальному мінімумі.

f(x, y) = x³ + y³ − 3xy
fmin =
6.Складна
xy10,5

Скористайтеся полярними координатами, щоб обчислити I = ∬R √(x² + y²) dA, де R — кільце 0,25 ≤ x² + y² ≤ 1.

f = √(x² + y²)0,5 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π
I =

Ключ відповідей

  1. 1. fxy(2, 1) = 12
  2. 2. I = 40,5
  3. 3. Duf = 0,486
  4. 4. Duf = 1,169
  5. 5. fmin = −1
  6. 6. I = 1,833

Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.