Робочий аркуш «Диференціальне числення функцій багатьох змінних» з відповідями

Безкоштовний робочий аркуш для друку «Диференціальне числення функцій багатьох змінних»: 6 задач від легких до рівня іспиту, з ключем відповідей. Роздрукуйте його або збережіть як PDF.

Новий робочий аркушТренуватися онлайн з підказками

Для викладачів: можна безкоштовно друкувати, копіювати й використовувати на заняттях. Кожен новий аркуш має нові значення і власні відповіді. Будемо вдячні за посилання на ExamProblems на сторінці вашого курсу.

Ім’я: ____________________   Дата: ____________

1.Легка
xy−13P

Для f(x, y) = −4x³y³ − 4x² + 2y² − 2xy знайдіть частинну похідну ∂f/∂x у точці (−1, 3).

f(x, y) = −4x³y³ − 4x² + 2y² − 2xyP = (−1, 3)
fx(−1, 3) =
2.Легка

Для f(x, y) = 2 ln(x² + 4y²) знайдіть мішану другу частинну похідну ∂²f/∂x∂y у (−1, 0,5).

f(x, y) = 2 ln(x² + 4y²)P = (−1, 0,5)
fxy(−1, 0.5) =
3.Середня

z = x²y − 4x³ − 3y² + 4xy, де x = t − 2 і y = t² + 2. Скористайтеся правилом ланцюга, щоб знайти dz/dt за t = 1.

z = x²y − 4x³ − 3y² + 4xyx = t − 2y = t² + 2t = 1
dz/dt =
4.Середня
xy3−2∇fP

Для f(x, y) = −3xy³ − 2x³ + 5y³ − 3xy знайдіть максимальну швидкість зміни f у точці (3, −2), тобто |∇f|.

f(x, y) = −3xy³ − 2x³ + 5y³ − 3xyP = (3, −2)
|∇f| =
5.Складна
xy−202−202(0, 0)(1, 1)(−1, −1)

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy має критичну точку в (1, 1). Обчисліть там дискримінант D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xyP = (1, 1)
D =
6.Складна
xy05−2024(0, 0)(3, 3)

Знайдіть критичні точки f(x, y) = x³ + y³ − 9xy, класифікуйте їх і дайте значення fmin функції f у її локальному мінімумі.

f(x, y) = x³ + y³ − 9xy
fmin =

Ключ відповідей

  1. 1. fx(−1, 3) = −322
  2. 2. fxy(−1, 0.5) = 4
  3. 3. dz/dt = −48
  4. 4. |∇f| = 61,85
  5. 5. D = 128
  6. 6. fmin = −27

Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.