Робочий аркуш «Диференціальне числення функцій багатьох змінних» з відповідями

Безкоштовний робочий аркуш для друку «Диференціальне числення функцій багатьох змінних»: 6 задач від легких до рівня іспиту, з ключем відповідей. Роздрукуйте його або збережіть як PDF.

Новий робочий аркушТренуватися онлайн з підказками

Для викладачів: можна безкоштовно друкувати, копіювати й використовувати на заняттях. Кожен новий аркуш має нові значення і власні відповіді. Будемо вдячні за посилання на ExamProblems на сторінці вашого курсу.

Ім’я: ____________________   Дата: ____________

1.Легка

Для f(x, y) = −3xy³ − 3x³ + 4y² знайдіть мішану другу частинну похідну ∂²f/∂x∂y у (2, 1).

f(x, y) = −3xy³ − 3x³ + 4y²P = (2, 1)
fxy(2, 1) =
2.Легка
xyx = 2y = 5y = 2252

Обчисліть I = ∫02 ∫25 (x·e−y) dy dx по прямокутнику 0 ≤ x ≤ 2, 2 ≤ y ≤ 5.

f = x·e−y0 ≤ x ≤ 22 ≤ y ≤ 5
I =
3.Середня
xy05−4−202vP

Для f(x, y) = 3xy³ + 4x² + y³ + xy знайдіть похідну за напрямом Duf у (3, −1) у напрямку v = (4, −1).

f(x, y) = 3xy³ + 4x² + y³ + xyP = (3, −1)v = (4, −1)
Duf =
4.Середня
xy−13∇fP

Для f(x, y) = −2xy³ + 4y² − 3xy знайдіть напрямок найшвидшого зростання в (−1, 3) як кут θ від додатної осі x, у градусах між −180° і 180°.

f(x, y) = −2xy³ + 4y² − 3xyP = (−1, 3)
θ = °
5.Складна
xy2

Скористайтеся полярними координатами, щоб обчислити I = ∬R (x² + y²) dA, де R — чверть круга x² + y² ≤ 4 у першій чверті.

f = x² + y²0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π/2
I =
6.Складна
xy05−2024(0, 0)(3, 3)

Знайдіть критичні точки f(x, y) = x³ + y³ − 9xy, класифікуйте їх і дайте значення fmin функції f у її локальному мінімумі.

f(x, y) = x³ + y³ − 9xy
fmin =

Ключ відповідей

  1. 1. fxy(2, 1) = −9
  2. 2. I = 0,2572
  3. 3. Duf = 11,4
  4. 4. θ = 127,9 °
  5. 5. I = 6,283
  6. 6. fmin = −27

Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.