Робочий аркуш «Диференціальне числення функцій багатьох змінних» з відповідями

Безкоштовний робочий аркуш для друку «Диференціальне числення функцій багатьох змінних»: 6 задач від легких до рівня іспиту, з ключем відповідей. Роздрукуйте його або збережіть як PDF.

Новий робочий аркушТренуватися онлайн з підказками

Для викладачів: можна безкоштовно друкувати, копіювати й використовувати на заняттях. Кожен новий аркуш має нові значення і власні відповіді. Будемо вдячні за посилання на ExamProblems на сторінці вашого курсу.

Ім’я: ____________________   Дата: ____________

1.Легка

Для f(x, y) = 5 sin(−2x − 2y) знайдіть мішану другу частинну похідну ∂²f/∂x∂y у (−1, −1).

f(x, y) = 5 sin(−2x − 2y)P = (−1, −1)
fxy(−1, −1) =
2.Легка
xy−10,5P

Для f(x, y) = 2x²e3y знайдіть частинну похідну ∂f/∂y у точці (−1, 0,5).

f(x, y) = 2x²e3yP = (−1, 0,5)
fy(−1, 0.5) =
3.Середня
xy2−2∇fP

Для f(x, y) = −xy² − 5x² − 3y³ − 3xy знайдіть максимальну швидкість зміни f у точці (2, −2), тобто |∇f|.

f(x, y) = −xy² − 5x² − 3y³ − 3xyP = (2, −2)
|∇f| =
4.Середня
xy1−2∇fP

Для f(x, y) = 2xy² + 5x³ + 5y³ знайдіть максимальну швидкість зміни f у точці (1, −2), тобто |∇f|.

f(x, y) = 2xy² + 5x³ + 5y³P = (1, −2)
|∇f| =
5.Складна
xyy = 0,8y = x0,80,8

Інтеграл I = ∫00,8 ∫x0,8 1/(1 + y²)² dy dx не можна обчислити в такому порядку. Змініть порядок інтегрування й обчисліть його.

f = 1/(1 + y²)²0 ≤ x ≤ y ≤ 0,8
I =
6.Складна
xy−202−202(0, 0)(2, 2)(−2, −2)

Знайдіть критичні точки f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy, класифікуйте їх і дайте значення fmin функції f у її локальному мінімумі.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy
fmin =

Ключ відповідей

  1. 1. fxy(−1, −1) = 15,14
  2. 2. fy(−1, 0.5) = 26,89
  3. 3. |∇f| = 38,47
  4. 4. |∇f| = 56,86
  5. 5. I = 0,1951
  6. 6. fmin = −32

Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.