Робочий аркуш «Диференціальне числення функцій багатьох змінних» з відповідями

Безкоштовний робочий аркуш для друку «Диференціальне числення функцій багатьох змінних»: 6 задач від легких до рівня іспиту, з ключем відповідей. Роздрукуйте його або збережіть як PDF.

Новий робочий аркушТренуватися онлайн з підказками

Для викладачів: можна безкоштовно друкувати, копіювати й використовувати на заняттях. Кожен новий аркуш має нові значення і власні відповіді. Будемо вдячні за посилання на ExamProblems на сторінці вашого курсу.

Ім’я: ____________________   Дата: ____________

1.Легка
xy−1−1P

Для f(x, y) = 3y·exy знайдіть частинну похідну ∂f/∂y у точці (−1, −1).

f(x, y) = 3y·exyP = (−1, −1)
fy(−1, −1) =
2.Легка

Для f(x, y) = 5x³y − 3y³ знайдіть другу частинну похідну ∂²f/∂y² у (−2, 1).

f(x, y) = 5x³y − 3y³P = (−2, 1)
fyy(−2, 1) =
3.Середня
xy13∇fP

Для f(x, y) = −x²y − x³ − y² − 4xy знайдіть максимальну швидкість зміни f у точці (1, 3), тобто |∇f|.

f(x, y) = −x²y − x³ − y² − 4xyP = (1, 3)
|∇f| =
4.Середня
xy20,5∇fP

Для f(x, y) = 3xe2y знайдіть напрямок найшвидшого зростання в (2, 0,5) як кут θ від додатної осі x, у градусах між −180° і 180°.

f(x, y) = 3xe2yP = (2, 0,5)
θ = °
5.Складна
xy−50−4−202(0, 0)(−3, −3)

Знайдіть критичні точки f(x, y) = x³ + y³ + 9xy, класифікуйте їх і дайте значення fmax функції f у її локальному максимумі.

f(x, y) = x³ + y³ + 9xy
fmax =
6.Складна
xy1,5

Скористайтеся полярними координатами, щоб обчислити I = ∬R y dA, де R — верхній півкруг x² + y² ≤ 2,25 (y ≥ 0).

f = y0 ≤ r ≤ 1,50 ≤ θ ≤ π
I =

Ключ відповідей

  1. 1. fy(−1, −1) = 16,31
  2. 2. fyy(−2, 1) = −18
  3. 3. |∇f| = 23,71
  4. 4. θ = 75,96 °
  5. 5. fmax = 27
  6. 6. I = 2,25

Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.