Робочий аркуш «Диференціальне числення функцій багатьох змінних» з відповідями

Безкоштовний робочий аркуш для друку «Диференціальне числення функцій багатьох змінних»: 6 задач від легких до рівня іспиту, з ключем відповідей. Роздрукуйте його або збережіть як PDF.

Новий робочий аркушТренуватися онлайн з підказками

Для викладачів: можна безкоштовно друкувати, копіювати й використовувати на заняттях. Кожен новий аркуш має нові значення і власні відповіді. Будемо вдячні за посилання на ExamProblems на сторінці вашого курсу.

Ім’я: ____________________   Дата: ____________

1.Легка
xy1−1P

Для f(x, y) = −4xy² − 4x² − 5y² − 4xy знайдіть частинну похідну ∂f/∂y у точці (1, −1).

f(x, y) = −4xy² − 4x² − 5y² − 4xyP = (1, −1)
fy(1, −1) =
2.Легка
xy−3−1P

Для f(x, y) = −3x²y³ + 2x² + y³ знайдіть частинну похідну ∂f/∂x у точці (−3, −1).

f(x, y) = −3x²y³ + 2x² + y³P = (−3, −1)
fx(−3, −1) =
3.Середня
xy−21P

Скористайтеся дотичною площиною до f(x, y) = −2x³y² + 5x³ + 4y² + 2xy у (−2, 1), щоб наблизити f(−1,9, 1,2). Дайте лінійне наближення L.

f(x, y) = −2x³y² + 5x³ + 4y² + 2xy(a, b) = (−2, 1)(x, y) = (−1,9, 1,2)
L =
4.Середня
xy13∇fP

Для f(x, y) = −x²y + 4y² + xy знайдіть максимальну швидкість зміни f у точці (1, 3), тобто |∇f|.

f(x, y) = −x²y + 4y² + xyP = (1, 3)
|∇f| =
5.Складна
xy2

Скористайтеся полярними координатами, щоб обчислити I = ∬R √(x² + y²) dA, де R — чверть круга x² + y² ≤ 4 у першій чверті.

f = √(x² + y²)0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π/2
I =
6.Складна
xy02−1012(0, 0)(1, 1)

Знайдіть критичні точки f(x, y) = x³ + y³ − 3xy, класифікуйте їх і дайте значення fmin функції f у її локальному мінімумі.

f(x, y) = x³ + y³ − 3xy
fmin =

Ключ відповідей

  1. 1. fy(1, −1) = 14
  2. 2. fx(−3, −1) = −30
  3. 3. L = −13
  4. 4. |∇f| = 24,19
  5. 5. I = 4,189
  6. 6. fmin = −1

Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.