Робочий аркуш «Диференціальне числення функцій багатьох змінних» з відповідями

Безкоштовний робочий аркуш для друку «Диференціальне числення функцій багатьох змінних»: 6 задач від легких до рівня іспиту, з ключем відповідей. Роздрукуйте його або збережіть як PDF.

Новий робочий аркушТренуватися онлайн з підказками

Для викладачів: можна безкоштовно друкувати, копіювати й використовувати на заняттях. Кожен новий аркуш має нові значення і власні відповіді. Будемо вдячні за посилання на ExamProblems на сторінці вашого курсу.

Ім’я: ____________________   Дата: ____________

1.Легка

Для f(x, y) = −4x³y − x³ − y² − xy знайдіть другу частинну похідну ∂²f/∂x² у (−1, −1).

f(x, y) = −4x³y − x³ − y² − xyP = (−1, −1)
fxx(−1, −1) =
2.Легка
xyx = 1x = 4y = 3143

Обчисліть I = ∫14 ∫03 (5xy² − 3) dy dx по прямокутнику 1 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 3.

f = 5xy² − 31 ≤ x ≤ 40 ≤ y ≤ 3
I =
3.Середня
xy2−1∇fP

Для f(x, y) = 5 sin(−x + y) знайдіть напрямок найшвидшого зростання в (2, −1) як кут θ від додатної осі x, у градусах між −180° і 180°.

f(x, y) = 5 sin(−x + y)P = (2, −1)
θ = °
4.Середня
xy0,52∇fP

Для f(x, y) = 3 ln(x² + 3y²) знайдіть максимальну швидкість зміни f у точці (0,5, 2), тобто |∇f|.

f(x, y) = 3 ln(x² + 3y²)P = (0,5, 2)
|∇f| =
5.Складна
xy−505−202(3, 0)(−3, 0)

f(x, y) = −x³ + 27x − y² має критичну точку в (−3, 0). Обчисліть там дискримінант D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = −x³ + 27x − y²P = (−3, 0)
D =
6.Складна
xy1

Скористайтеся полярними координатами, щоб обчислити I = ∬R x dA, де R — чверть круга x² + y² ≤ 1 у першій чверті.

f = x0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ π/2
I =

Ключ відповідей

  1. 1. fxx(−1, −1) = −18
  2. 2. I = 310,5
  3. 3. θ = −45 °
  4. 4. |∇f| = 2,949
  5. 5. D = −36
  6. 6. I = 0,3333

Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.