Робочий аркуш «Диференціальне числення функцій багатьох змінних» з відповідями

Безкоштовний робочий аркуш для друку «Диференціальне числення функцій багатьох змінних»: 6 задач від легких до рівня іспиту, з ключем відповідей. Роздрукуйте його або збережіть як PDF.

Новий робочий аркушТренуватися онлайн з підказками

Для викладачів: можна безкоштовно друкувати, копіювати й використовувати на заняттях. Кожен новий аркуш має нові значення і власні відповіді. Будемо вдячні за посилання на ExamProblems на сторінці вашого курсу.

Ім’я: ____________________   Дата: ____________

1.Легка
xy−2−3P

Для f(x, y) = 2xy + 4x³ знайдіть частинну похідну ∂f/∂y у точці (−2, −3).

f(x, y) = 2xy + 4x³P = (−2, −3)
fy(−2, −3) =
2.Легка
xy−11P

Для f(x, y) = 5x²y³ + 3x² + 2y² + xy знайдіть частинну похідну ∂f/∂y у точці (−1, 1).

f(x, y) = 5x²y³ + 3x² + 2y² + xyP = (−1, 1)
fy(−1, 1) =
3.Середня
xy12∇fP

Для f(x, y) = 3xy³ − 5x³ + 5y³ + xy знайдіть максимальну швидкість зміни f у точці (1, 2), тобто |∇f|.

f(x, y) = 3xy³ − 5x³ + 5y³ + xyP = (1, 2)
|∇f| =
4.Середня
xy02012PQ

Для f(x, y) = 3xy² − 5x² + 2y³ + xy знайдіть похідну за напрямом Duf у точці P(1, 1) у напрямку до Q(3, 2).

f(x, y) = 3xy² − 5x² + 2y³ + xyP = (1, 1)Q = (3, 2)
Duf =
5.Складна
xy02−101(2, 0)

Знайдіть критичні точки f(x, y) = −x² + 2xy − 3y² + 4x − 4y, класифікуйте їх і дайте значення fmax функції f у її локальному максимумі.

f(x, y) = −x² + 2xy − 3y² + 4x − 4y
fmax =
6.Складна
xy1,5

Скористайтеся полярними координатами, щоб обчислити I = ∬R (x² + y²) dA, де R — верхній півкруг x² + y² ≤ 2,25 (y ≥ 0).

f = x² + y²0 ≤ r ≤ 1,50 ≤ θ ≤ π
I =

Ключ відповідей

  1. 1. fy(−2, −3) = −4
  2. 2. fy(−1, 1) = 18
  3. 3. |∇f| = 97,62
  4. 4. Duf = 0,4472
  5. 5. fmax = 4
  6. 6. I = 3,976

Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.