Робочий аркуш «Диференціальне числення функцій багатьох змінних» з відповідями

Безкоштовний робочий аркуш для друку «Диференціальне числення функцій багатьох змінних»: 6 задач від легких до рівня іспиту, з ключем відповідей. Роздрукуйте його або збережіть як PDF.

Новий робочий аркушТренуватися онлайн з підказками

Для викладачів: можна безкоштовно друкувати, копіювати й використовувати на заняттях. Кожен новий аркуш має нові значення і власні відповіді. Будемо вдячні за посилання на ExamProblems на сторінці вашого курсу.

Ім’я: ____________________   Дата: ____________

1.Легка
xy−1−1P

Для f(x, y) = 5x³y² + 3x² − 5y² + 2xy знайдіть частинну похідну ∂f/∂x у точці (−1, −1).

f(x, y) = 5x³y² + 3x² − 5y² + 2xyP = (−1, −1)
fx(−1, −1) =
2.Легка
xyx = 1x = 4y = 3y = 11431

Обчисліть I = ∫14 ∫13 (x·e0,5y) dy dx по прямокутнику 1 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 3.

f = x·e0,5y1 ≤ x ≤ 41 ≤ y ≤ 3
I =
3.Середня
xy−1−1∇fP

Для f(x, y) = x³y² + 4x² + y² − 2xy знайдіть максимальну швидкість зміни f у точці (−1, −1), тобто |∇f|.

f(x, y) = x³y² + 4x² + y² − 2xyP = (−1, −1)
|∇f| =
4.Середня
xy−10123−2−10PQ

Для f(x, y) = 2 ln(x² + 4y²) знайдіть похідну за напрямом Duf у точці P(1, −1) у напрямку до Q(2, 0).

f(x, y) = 2 ln(x² + 4y²)P = (1, −1)Q = (2, 0)
Duf =
5.Складна
xy−20−2−101(0, 0)(−1, −1)

Знайдіть критичні точки f(x, y) = x³ + y³ + 3xy, класифікуйте їх і дайте значення fmax функції f у її локальному максимумі.

f(x, y) = x³ + y³ + 3xy
fmax =
6.Складна
xy−202−202(0, 0)(2, 2)(−2, −2)

Знайдіть критичні точки f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy, класифікуйте їх і дайте значення fmin функції f у її локальному мінімумі.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy
fmin =

Ключ відповідей

  1. 1. fx(−1, −1) = 7
  2. 2. I = 42,49
  3. 3. |∇f| = 3,606
  4. 4. Duf = −1,697
  5. 5. fmax = 1
  6. 6. fmin = −32

Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.