Робочий аркуш «Диференціальне числення функцій багатьох змінних» з відповідями

Безкоштовний робочий аркуш для друку «Диференціальне числення функцій багатьох змінних»: 6 задач від легких до рівня іспиту, з ключем відповідей. Роздрукуйте його або збережіть як PDF.

Новий робочий аркушТренуватися онлайн з підказками

Для викладачів: можна безкоштовно друкувати, копіювати й використовувати на заняттях. Кожен новий аркуш має нові значення і власні відповіді. Будемо вдячні за посилання на ExamProblems на сторінці вашого курсу.

Ім’я: ____________________   Дата: ____________

1.Легка
xyx = 1x = 3y = 1131

Обчисліть I = ∫13 ∫01 (5x²y − 2) dy dx по прямокутнику 1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1.

f = 5x²y − 21 ≤ x ≤ 30 ≤ y ≤ 1
I =
2.Легка
xy0,51P

Для f(x, y) = 2 sin(−x − 2y) знайдіть частинну похідну ∂f/∂x у точці (0,5, 1).

f(x, y) = 2 sin(−x − 2y)P = (0,5, 1)
fx(0.5, 1) =
3.Середня
xy−11∇fP

Для f(x, y) = ln(x² + 3y²) знайдіть максимальну швидкість зміни f у точці (−1, 1), тобто |∇f|.

f(x, y) = ln(x² + 3y²)P = (−1, 1)
|∇f| =
4.Середня
xy−202024vP

Для f(x, y) = 3x³y³ − x³ − y² + xy знайдіть похідну за напрямом Duf у (1, 1) у напрямку v = (−4, 4).

f(x, y) = 3x³y³ − x³ − y² + xyP = (1, 1)v = (−4, 4)
Duf =
5.Складна
xy−20−2−101(0, 0)(−1, −1)

f(x, y) = x³ + y³ + 3xy має критичну точку в (0, 0). Обчисліть там дискримінант D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ + y³ + 3xyP = (0, 0)
D =
6.Складна
xy−4−202−2024(−2, 3)

Знайдіть критичні точки f(x, y) = −2x² + 2xy − y² − 14x + 10y, класифікуйте їх і дайте значення fmax функції f у її локальному максимумі.

f(x, y) = −2x² + 2xy − y² − 14x + 10y
fmax =

Ключ відповідей

  1. 1. I = 17,67
  2. 2. fx(0.5, 1) = 1,602
  3. 3. |∇f| = 1,581
  4. 4. Duf = 0,7071
  5. 5. D = −9
  6. 6. fmax = 29

Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.