Робочий аркуш «Диференціальне числення функцій багатьох змінних» з відповідями

Безкоштовний робочий аркуш для друку «Диференціальне числення функцій багатьох змінних»: 6 задач від легких до рівня іспиту, з ключем відповідей. Роздрукуйте його або збережіть як PDF.

Новий робочий аркушТренуватися онлайн з підказками

Для викладачів: можна безкоштовно друкувати, копіювати й використовувати на заняттях. Кожен новий аркуш має нові значення і власні відповіді. Будемо вдячні за посилання на ExamProblems на сторінці вашого курсу.

Ім’я: ____________________   Дата: ____________

1.Легка

Для f(x, y) = −4x³y + 4x² + y³ + 3xy знайдіть другу частинну похідну ∂²f/∂x² у (−2, −1).

f(x, y) = −4x³y + 4x² + y³ + 3xyP = (−2, −1)
fxx(−2, −1) =
2.Легка
xy−3−3P

Для f(x, y) = −2x²y³ + 4x² + y² − 3xy знайдіть частинну похідну ∂f/∂x у точці (−3, −3).

f(x, y) = −2x²y³ + 4x² + y² − 3xyP = (−3, −3)
fx(−3, −3) =
3.Середня

z = 3 ln(x² + 4y²), де x = t + 2 і y = −2t² − 2. Скористайтеся правилом ланцюга, щоб знайти dz/dt за t = 0.

z = 3 ln(x² + 4y²)x = t + 2y = −2t² − 2t = 0
dz/dt =
4.Середня
xy11∇fP

Для f(x, y) = 3xe2y знайдіть максимальну швидкість зміни f у точці (1, 1), тобто |∇f|.

f(x, y) = 3xe2yP = (1, 1)
|∇f| =
5.Складна
xy−202−202(0, 0)(2, 2)(−2, −2)

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy має критичну точку в (0, 0). Обчисліть там дискримінант D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xyP = (0, 0)
D =
6.Складна
xy2

Скористайтеся полярними координатами, щоб обчислити I = ∬R x dA, де R — чверть круга x² + y² ≤ 4 у першій чверті.

f = x0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π/2
I =

Ключ відповідей

  1. 1. fxx(−2, −1) = −40
  2. 2. fx(−3, −3) = −339
  3. 3. dz/dt = 0,6
  4. 4. |∇f| = 49,57
  5. 5. D = −256
  6. 6. I = 2,667

Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.