Робочий аркуш «Диференціальне числення функцій багатьох змінних» з відповідями

Безкоштовний робочий аркуш для друку «Диференціальне числення функцій багатьох змінних»: 6 задач від легких до рівня іспиту, з ключем відповідей. Роздрукуйте його або збережіть як PDF.

Новий робочий аркушТренуватися онлайн з підказками

Для викладачів: можна безкоштовно друкувати, копіювати й використовувати на заняттях. Кожен новий аркуш має нові значення і власні відповіді. Будемо вдячні за посилання на ExamProblems на сторінці вашого курсу.

Ім’я: ____________________   Дата: ____________

1.Легка
xyx = 1y = 5y = 2152

Обчисліть I = ∫01 ∫25 (4xy² + 1) dy dx по прямокутнику 0 ≤ x ≤ 1, 2 ≤ y ≤ 5.

f = 4xy² + 10 ≤ x ≤ 12 ≤ y ≤ 5
I =
2.Легка
xy12P

Для f(x, y) = 2 ln(x² + 3y²) знайдіть частинну похідну ∂f/∂y у точці (1, 2).

f(x, y) = 2 ln(x² + 3y²)P = (1, 2)
fy(1, 2) =
3.Середня
xy024012PQ

Для f(x, y) = −2xe2y знайдіть похідну за напрямом Duf у точці P(0,5, 1) у напрямку до Q(3,5, 0).

f(x, y) = −2xe2yP = (0,5, 1)Q = (3,5, 0)
Duf =
4.Середня
xy0,51∇fP

Для f(x, y) = 2 ln(x² + 2y²) знайдіть максимальну швидкість зміни f у точці (0,5, 1), тобто |∇f|.

f(x, y) = 2 ln(x² + 2y²)P = (0,5, 1)
|∇f| =
5.Складна
xy02−1012(0, 0)(1, 1)

Знайдіть критичні точки f(x, y) = x³ + y³ − 3xy, класифікуйте їх і дайте значення fmin функції f у її локальному мінімумі.

f(x, y) = x³ + y³ − 3xy
fmin =
6.Складна
xy−505−2024(3, 3)(−3, 3)

Знайдіть критичні точки f(x, y) = x³ − 27x + y² − 6y, класифікуйте їх і дайте значення fmin функції f у її локальному мінімумі.

f(x, y) = x³ − 27x + y² − 6y
fmin =

Ключ відповідей

  1. 1. I = 81
  2. 2. fy(1, 2) = 1,846
  3. 3. Duf = −9,346
  4. 4. |∇f| = 3,665
  5. 5. fmin = −1
  6. 6. fmin = −63

Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.