Робочий аркуш «Диференціальне числення функцій багатьох змінних» з відповідями

Безкоштовний робочий аркуш для друку «Диференціальне числення функцій багатьох змінних»: 6 задач від легких до рівня іспиту, з ключем відповідей. Роздрукуйте його або збережіть як PDF.

Новий робочий аркушТренуватися онлайн з підказками

Для викладачів: можна безкоштовно друкувати, копіювати й використовувати на заняттях. Кожен новий аркуш має нові значення і власні відповіді. Будемо вдячні за посилання на ExamProblems на сторінці вашого курсу.

Ім’я: ____________________   Дата: ____________

1.Легка
xyx = 1y = 111

Обчисліть I = ∫01 ∫01 (−y² + 1) dy dx по прямокутнику 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.

f = −y² + 10 ≤ x ≤ 10 ≤ y ≤ 1
I =
2.Легка
xy12P

Для f(x, y) = 2 ln(x² + 4y²) знайдіть частинну похідну ∂f/∂x у точці (1, 2).

f(x, y) = 2 ln(x² + 4y²)P = (1, 2)
fx(1, 2) =
3.Середня
xy2−1∇fP

Для f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²) знайдіть максимальну швидкість зміни f у точці (2, −1), тобто |∇f|.

f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²)P = (2, −1)
|∇f| =
4.Середня
xy2−1P

Дотичну площину до z = 2y·exy у точці, де (x, y) = (2, −1), можна записати як z = px + qy + c. Знайдіть c.

f(x, y) = 2y·exy(a, b) = (2, −1)
c =
5.Складна
xy−505−4−202(3, −3)(−3, −3)

f(x, y) = −x³ + 27x − y² − 6y має критичну точку в (3, −3). Обчисліть там дискримінант D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = −x³ + 27x − y² − 6yP = (3, −3)
D =
6.Складна
xy−202−101(1, 0)(−1, 0)

Знайдіть критичні точки f(x, y) = −x³ + 3x − y², класифікуйте їх і дайте значення fmax функції f у її локальному максимумі.

f(x, y) = −x³ + 3x − y²
fmax =

Ключ відповідей

  1. 1. I = 0,6667
  2. 2. fx(1, 2) = 0,2353
  3. 3. |∇f| = 3,354
  4. 4. c = −1,083
  5. 5. D = 36
  6. 6. fmax = 2

Повні покрокові розв’язки: тренуйте цю тему на examproblems.com.