Робочий аркуш «Оптимізація» з відповідями

Відкриту коробку виготовляють з квадратного аркуша картону 60 cm × 60 cm, вирізаючи з чотирьох кутів однакові квадрати зі стороною x і загинаючи бічні стінки. Знайдіть найбільший можливий об’єм V.

Прямокутний загін огороджують 120 m огорожі й ділять на дві частини ще однією огорожею, паралельною сторонам довжини x (загалом три огорожі довжини x і дві довжини y). Знайдіть довжину x, що дає найбільшу загальну площу.

Прямокутну ділянку площею 200 m² огороджують з усіх чотирьох боків. Сторона вздовж вулиці довжиною x коштує €25 за метр; інші три сторони — €8 за метр. Знайдіть мінімальну загальну вартість C.

Відкрита коробка (без кришки) з квадратним дном має вміщувати 108000 cm³. Використайте якнайменше матеріалу, тобто найменшу площу дна разом із чотирма стінками. Знайдіть мінімальну площу поверхні S.

Невелика фірма продає свою продукцію за фіксованою ринковою ціною €30 за одиницю. Виробництво q одиниць коштує C(q) = 8500 + 4q + 0,01q² євро. Знайдіть обсяг випуску q, що максимізує прибуток.

Компанія продає q одиниць на тиждень. Ціна, за якою їх можна продати, p = 90 − 1q євро за одиницю, а витрати C(q) = 300 + 15q євро. Знайдіть максимальний тижневий прибуток P.