Bài tập AP Calculus: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giới hạn

Thay trực tiếp: thử x = a trước; 0/0 nghĩa là cần rút gọn
Phân tích thành nhân tử và giản ước: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Biểu thức liên hợp: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Giới hạn tại vô cực: chia cho lũy thừa cao nhất của x; bậc bằng nhau cho tỉ số các hệ số cao nhất
Giới hạn đặc biệt: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Quy tắc L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Đạo hàm

Quy tắc lũy thừa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Quy tắc tích: (uv)′ = u′v + uv′
Quy tắc thương: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Quy tắc dây chuyền: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Các đạo hàm thường gặp: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Phương pháp

Xác định cấu trúc: tổng, tích, thương hay hàm hợp.
Áp dụng quy tắc lũy thừa cho từng lũy thừa của x.
Dùng quy tắc tích, thương hoặc dây chuyền khi cần.
Rút gọn, và tính giá trị tại điểm nếu được yêu cầu.

Tối ưu hóa

Phương pháp: viết Q(x) theo một biến, giải Q′(x) = 0, kiểm tra Q″ hoặc các điểm biên
Cực đại: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Cực tiểu: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Hình trụ kín: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Lợi nhuận: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Tích phân

Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Tích phân xác định: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Các tích phân thường gặp: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Diện tích giữa các đường cong: ∫_a^b (f − g) dx

Phương pháp

Viết lại hàm dưới dấu tích phân thành tổng các số hạng đơn giản nếu có thể.
Áp dụng quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), và các tích phân chuẩn cho e^x, 1/x, sin và cos.
Dùng phép đổi biến khi bạn thấy một hàm và đạo hàm của nó đi cùng nhau.
Với tích phân xác định, tính F(b) − F(a).

Phương trình vi phân

Tăng trưởng/suy giảm theo hàm mũ: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Chu kỳ bán rã: k = ln 2 / t_½
Định luật làm nguội Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Thừa số tích phân: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Bể trộn: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Dãy số & chuỗi

Cấp số cộng: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Cấp số nhân: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Chuỗi nhân vô hạn: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Chuỗi p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Tiêu chuẩn tỉ số: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Bán kính hội tụ: R = lim |c_k/c_k+1|
Đa thức Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Chuỗi Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Chặn sai số Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Phương pháp

Hãy nhận ra loại: cấp số cộng (hiệu không đổi), cấp số nhân (tỉ số không đổi), một chuỗi chuẩn, một chuỗi lũy thừa hay một đa thức Taylor.
Với tổng hãy dùng Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), hoặc S = a₁/(1 − r) khi |r| < 1, với a₁ là số hạng đầu của tổng.
Với sự hội tụ: trước hết là tiêu chuẩn số hạng thứ n, rồi so sánh với Σ1/kᵖ hoặc một chuỗi nhân, và dùng tiêu chuẩn tỉ số hoặc căn cho giai thừa và lũy thừa bậc k.
Với đa thức Taylor hãy liệt kê f(a), f′(a), f″(a), …, chia đạo hàm bậc k cho k!, và chặn sai số bằng M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

2Bài tập

1.Giới hạnTrung bình

Tìm giới hạn L = lim_x→∞ (1 + 1/x)^x. Cho kết quả dưới dạng số thập phân.

f(x) = (1 + 1/x)^xx → ∞

L =

2.Giới hạnKhó

Tìm giới hạn L = lim_x→0 (e^−0,5x − 1 + 0,5x)/x².

f(x) = (e^−0,5x − 1 + 0,5x)/x²x → 0

L =

3.Đạo hàmTrung bình

Cho f(x) = x·sin(2x), với x theo radian. Tìm f′(0,5).

f(x) = x·sin(2x)x = 0,5 rad

f′(0.5) =

4.Đạo hàmKhó

Tiếp tuyến của f(x) = 3x² + 3x + 6 tại x = 3 cắt trục y tại y = b. Tìm b.

f(x) = 3x² + 3x + 6x = 3

b =

5.Tối ưu hóaTrung bình

Một chiếc hộp hở (không nắp) có đáy vuông phải chứa được 13500 cm³. Dùng ít vật liệu nhất có thể, tức là tổng diện tích đáy và bốn mặt bên nhỏ nhất. Tìm chiều cao h.

V = 13500 cm³

h = cm

6.Tối ưu hóaKhó

Một công ty bán q sản phẩm mỗi tuần. Giá có thể bán là p = 160 − 1q euro mỗi sản phẩm, và chi phí là C(q) = 100 + 120q euro. Tìm sản lượng hằng tuần q để lợi nhuận lớn nhất.

p = 160 − 1qC = 100 + 120q

q = đơn vị

7.Tích phânTrung bình

Tính I = ∫₀^π x·cos x dx (x tính theo radian).

∫₀^π x·cos x dx

I =

8.Tích phânKhó

Tính I = ∫₀^1,5 x²·eˣ dx.

∫₀^1,5 x²eˣ dx

I =

9.Phương trình vi phânTrung bình

Giải y″ + 7y′ + 12y = 0 với y(0) = 3 và y′(0) = -2. Tìm y(1).

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 3y′(0) = -2

y(1) =

10.Phương trình vi phânKhó

Một hệ thỏa y″ + 3y′ + 11,25y = 112,5 với t ≥ 0, bắt đầu từ trạng thái nghỉ: y(0) = 0, y′(0) = 0. Tìm giá trị đỉnh y_max của đáp ứng bậc thang của nó.

y″ + 3y′ + 11,25y = 112,5y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.Dãy số & chuỗiTrung bình

Hãy tìm bán kính hội tụ R của chuỗi lũy thừa Σ_k=1^∞ (1/2)ᵏ·(x + 1)ᵏ/(k + 1).

Σ (1/2)ᵏ·(x + 1)ᵏ/(k + 1)x₀ = −1

R =

12.Dãy số & chuỗiKhó

f(x) = eˣ được xấp xỉ bằng đa thức Maclaurin bậc 4 tại x = 1. Hãy dùng chặn sai số Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! với M = e¹ = 2,718 để tìm sai số lớn nhất có thể |R₄|.

f(x) = eˣn = 4x = 1M = 2,718

|R₄| =

3Dung dịch

1.Giới hạn

Đáp số: L = 2,718

Giới hạn: trước hết thử thay trực tiếp. Nếu cho 0/0, hãy rút gọn trước: phân tích thành nhân tử và giản ước thừa số chung, hoặc nhân với biểu thức liên hợp. Khi x → ∞, chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của x. Quy tắc L'Hôpital: nếu f/g cho 0/0 hoặc ∞/∞, thì lim f/g = lim f′/g′, lấy đạo hàm tử số và mẫu số riêng rẽ (không dùng quy tắc thương).

Lấy logarit

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 1/x)

Tính giá trị

ln(1 + u)/u → 1 khi u → 0, nên x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·1 = 1

Quay về từ logarit

L = e¹ = 2,718

Đáp số

L = 2,718

2.Giới hạn

Đáp số: L = 0,125

Áp dụng lần thứ nhất

(−0,5·e^−0,5x + 0,5)/(2x) → 0/0

Áp dụng lần thứ hai

0,25·e^−0,5x/2

Thay x = 0

L = 0,25·1/2 = 0,125

Đáp số

L = 0,125

3.Đạo hàm

Đáp số: f′(0.5) = 1,382

Đạo hàm: đạo hàm f′(x) là hệ số góc của đồ thị tại x. Quy tắc lũy thừa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Quy tắc tích: (uv)′ = u′v + uv′. Quy tắc dây chuyền: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Tại nơi f′(x) = 0, đồ thị có tiếp tuyến nằm ngang: cực đại, cực tiểu hoặc điểm yên ngựa.

Quy tắc tích và quy tắc dây chuyền

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Thay giá trị

f′(0,5) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382

Đáp số

f′(0,5) = 1,382

4.Đạo hàm

Đáp số: b = −21

Điểm và hệ số góc

f(3) = 42

f′(x) = 6x + 3 → f′(3) = 21

Tiếp tuyến tại x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 42 − 21·3 = −21

Đáp số

b = −21

5.Tối ưu hóa

Đáp số: h = 15 cm

Tối ưu hóa: viết đại lượng cần tối ưu thành hàm của một biến, dùng điều kiện ràng buộc để khử biến còn lại. Cho đạo hàm bằng 0 và giải. Kiểm tra điểm tới hạn là cực đại hay cực tiểu (dùng đạo hàm cấp hai hoặc sự đổi dấu của đạo hàm cấp một) và nằm trong khoảng cho phép; một đầu mút như cạnh có độ dài bằng 0 không phải là đáp án.

Diện tích theo x

S(x) = x² + 54000/x

Cho đạo hàm bằng không

S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0, nên đây là cực tiểu.

x³ = 27000 → x = 30 cm

Chiều cao và diện tích

h = 13500/30² = 15 cm

S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²

Đáp số

h = 15 cm

Hộp hở tốt nhất có chiều cao bằng một nửa cạnh đáy.

6.Tối ưu hóa

Đáp số: q = 20 đơn vị

Hàm lợi nhuận

P(q) = (160 − 1q)·q − (100 + 120q) = −q² + 40q − 100

Cho đạo hàm bằng không

P″(q) = −2 < 0, nên đây là cực đại.

q = 40/2 = 20

Giá và lợi nhuận

p = 160 − 1·20 = €140

P = 40·20 − 1·20² − 100 = €300

Đáp số

q = 20

7.Tích phân

Đáp số: I = −2

Tích phân từng phần: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, suy ra từ quy tắc tích. Chọn u là thừa số trở nên đơn giản hơn khi đạo hàm (một lũy thừa của x, hoặc ln x), và dv là thừa số bạn có thể tích phân (eˣ, sin x, cos x, hoặc x khi u = ln x). Với tích phân xác định, tính u·v tại cả hai cận: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Thừa số x² cần hai lần.

Chọn u và dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Nguyên hàm

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Giới hạn

(π·sin π + cos π) − (0 + 1) = −2

Đáp số

I = −2

8.Tích phân

Đáp số: I = 3,602

Lần thứ nhất

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Lần thứ hai

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Giới hạn

4,482·(1,25) − 1·2 = 3,602

Đáp số

I = 3,602

9.Phương trình vi phân

Đáp số: y(1) = 0,3697

Phương trình tuyến tính bậc hai: với y″ + b·y′ + c·y = 0, thử y = e^rt: điều này cho phương trình đặc trưng r² + b·r + c = 0. Hai nghiệm thực r₁ ≠ r₂ cho y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (quá tắt dần); nghiệm kép r cho y = (A + Bt)·e^rt (tắt dần tới hạn); nghiệm phức −α ± jω cho y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (dưới tắt dần, dao động). Các giá trị ban đầu y(0) và y′(0) xác định A và B. Viết dưới dạng y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n là tần số riêng và ζ là hệ số tắt dần: ζ < 1 thì dao động. Với đầu vào hằng, y″ + by′ + cy = c·K, nghiệm là giá trị xác lập K cộng đáp ứng tự do.

Các nghiệm đặc trưng

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

Các hằng số từ các giá trị ban đầu

A + B = 3, −3A − 4B = -2

A = 10, B = −7

Tính giá trị

y(1) = 10·e⁻³ + (−7)·e⁻⁴ = 0,3697

Đáp số

y(1) = 0,3697

10.Phương trình vi phân

Đáp số: y_max = 12,08

Giá trị xác lập và các nghiệm

y_ss = 10, r = −1,5 ± 3j

Các hằng số từ các giá trị ban đầu

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −1,5A + 3B = 0 → B = −5

Đỉnh

t = π/3 = 1,047

y_max = 10·(1 + e^−1,5·π/3) = 12,08

Đáp số

y_max = 12,08

11.Dãy số & chuỗi

Đáp số: R = 2

Hội tụ: nếu các số hạng không tiến về 0 thì chuỗi phân kỳ (tiêu chuẩn số hạng thứ n). Σ1/kᵖ chỉ hội tụ khi p > 1, và Σrᵏ chỉ khi |r| < 1. Hãy so sánh một chuỗi với một trong các chuỗi này khi các số hạng của nó có dạng giống chúng với k lớn. Tiêu chuẩn tỉ số: L = lim |a_k+1/a_k|; tiêu chuẩn căn: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 hội tụ, L > 1 phân kỳ, L = 1 không kết luận được. Một chuỗi lũy thừa Σc_k(x − x₀)ᵏ hội tụ khi |x − x₀| < R với R = lim |c_k/c_k+1|; một chuỗi đan dấu có các số hạng giảm dần về 0 thì hội tụ.

Các hệ số

c_k/c_k+1 = (1/(1/2))·(k + 2)/(k + 1) → 2

Bán kính

R = 2

Đáp số

R = 2

Tiêu chuẩn tỉ số không cho kết luận tại hai đầu mút; chúng phải được kiểm tra riêng.

12.Dãy số & chuỗi

Đáp số: |R₄| = 0,02265

Đa thức Taylor: gần x = a một hàm trơn được xấp xỉ bằng Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; với a = 0 đây là đa thức Maclaurin. Các chuỗi chuẩn: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Chặn sai số Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, trong đó M là giá trị lớn nhất của |f⁽ⁿ⁺¹⁾| giữa a và x.

Chặn của đạo hàm

M = e¹ = 2,718

Chặn Lagrange

|R₄| ≤ 2,718·1⁵/5! = 0,02265

Đáp số

|R₄| = 0,02265

Sai số thực nhỏ hơn: |f(1) − P₄(1)| = 0,009948.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-calculus-practice