Bài tập AP Statistics: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 14 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Kiểm định chi bình phương

Thống kê kiểm định: χ² = Σ(O − E)²/E
Độ phù hợp: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Tính độc lập: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Giá trị tới hạn (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Quyết định: bác bỏ H₀ nếu χ² > χ²_crit

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 24, 50, 40, 27, 46, 35.

n = 6

s =

2.Thống kê mô tảKhó

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 70 và độ lệch chuẩn 10. Tìm điểm z z của điểm số 85.

μ = 70σ = 10x = 85

z =

3.Xác suấtTrung bình

Một túi chứa 6 quả bóng đỏ và 7 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?

6 / 7

P =

4.Xác suấtKhó

6 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,4, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?

n = 6p = 0,4

P =

5.Phân phối chuẩnTrung bình

Khối lượng của hộp là độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 12 kg và độ lệch chuẩn 0,8 kg. Tìm xác suất P để tổng khối lượng của 10 trong số đó vượt quá 117,5 kg. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 10> 117,5 kg

P =

6.Phân phối chuẩnKhó

Thời gian một vòng X của vận động viên A và Y của vận động viên B là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 52 s và độ lệch chuẩn 4 s, Y có trung bình 48 s và độ lệch chuẩn 3 s. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.

n = 6

r² =

8.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (5, 54) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 5(5, 54)

e =

9.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 6 phần tử có trung bình 18,5 và độ lệch chuẩn s = 8. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.

n = 6x̄ = 18,5s = 890%t(5) = 2,015

giới hạn trên =

10.Khoảng tin cậyKhó

Không biết trước điều gì về tỉ lệ sản phẩm bị lỗi. Phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm n để khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ có sai số biên tối đa 0,025?

p = 0,5E = 0,02595%

n =

11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 25 sinh viên có điểm trung bình 499,3 và độ lệch chuẩn mẫu 4. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 499,3s = 4n = 25

t =

12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một kiểm định z một phía của H₀: μ = 80 với H₁: μ < 80 được thực hiện ở mức α = 0.05 với một mẫu 100; độ lệch chuẩn đã biết là 5. Trên thực tế trung bình là 79.1. Tìm xác suất sai lầm loại II β theo phần trăm.

μ₀ = 80μ = 79,1σ = 5n = 100α = 0,05

β = %

13.Kiểm định chi bình phươngTrung bình

Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Tính thống kê chi bình phương χ² cho kiểm định tính độc lập giữa biến hàng và biến cột. Không dùng hiệu chỉnh liên tục.

N = 1802 × 2

χ² =

14.Kiểm định chi bình phươngKhó

Kiểm định chi bình phương về tính độc lập được thực hiện trên bảng tiếp liên có 2 hàng và 5 cột (không tính các tổng). Dùng bảng, tìm giá trị tới hạn χ²_crit tại mức ý nghĩa α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 10,32

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 222/6 = 37

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−13)² + 13² + 3² + (−10)² + 9² + (−2)² = 532

Độ lệch chuẩn

s = √(532/5) = 10,32

Đáp số

s = 10,32

2.Thống kê mô tả

Đáp số: z = 1,5

Chuẩn hóa

z = (85 − 70)/10 = 1,5

Đáp số

z = 1,5

3.Xác suất

Đáp số: P = 0,1923

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Lần rút thứ nhất và thứ hai

P = 6/13 · 5/12 = 30/156 = 0,1923

Đáp số

P = 0,1923

4.Xác suất

Đáp số: P = 0,2333

Không hỏng và một hỏng

P(X = 0) = 0,6⁶ = 0,04666

P(X = 1) = 6·0,4·0,6⁵ = 0,1866

Cộng lại

P = 0,04666 + 0,1866 = 0,2333

Đáp số

P = 0,2333

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,8389

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ_T = 120 kg, σ_T = 0,8·√10 = 2,53 kg

Chuẩn hóa

z = (117,5 − 120)/2,53 = −0,99

Xác suất

P = 1 − Φ(−0,99) = 0,8389

Đáp số

P = 0,8389

6.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,7881

Phân bố của hiệu

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Chuẩn hóa

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Xác suất

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Đáp số

P = 0,7881

7.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r² = 0,89

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 362/6 = 60,33

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 567,3

Hệ số xác định

r² = 94²/(17,5·567,3) = 0,89

Đáp số

r² = 0,89

Khoảng 89% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

8.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = 5,15

Các giá trị trung bình

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 254/5 = 50,8

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 78

Đường hồi quy

b = 78/40 = 1,95

a = 50,8 − 1,95·6 = 39,1

ŷ = 39,1 + 1,95·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 39,1 + 1,95·5 = 48,85

Phần dư

e = 54 − 48,85 = 5,15

Đáp số

e = 5,15

Điểm nằm phía trên đường thẳng.

9.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 25,08

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 5, t = 2,015

Sai số biên

E = 2,015·8/√6 = 6,581

Khoảng

18,5 ± 6,581 → [11,92, 25,08]

Đáp số

giới hạn trên = 25,08

10.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 1537

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Giải tìm n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,025² = 1537

Làm tròn lên

n = 1537

Đáp số

n = 1537

11.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −0,875

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8

Thống kê kiểm định

t = (499,3 − 500)/0,8 = −0,875

Đáp số

t = −0,875

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

12.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: β = 43,84 %

Lực của một kiểm định: lực = 1 − β là xác suất bác bỏ H₀ khi nó sai. Tìm ngưỡng x̄c từ μ₀ và z_α, rồi tính xác suất rơi vượt quá x̄c bằng trung bình thật: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Trung bình mẫu tới hạn

SE = 5/√100 = 0,5

x̄_c = 80 − 1,645·0,5 = 79,18

z theo trung bình thật

z = (79,18 − 79,1)/0,5 = 0,155

Sai lầm loại II

lực của kiểm định = P(Z < 0.155) = 56.16%

β = 100% − 56,16% = 43,84%

Đáp số

β = 43,84%

13.Kiểm định chi bình phương

Đáp số: χ² = 0,1071

Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.

Số đếm kỳ vọng

nam: 100·126/180 = 70, 100·54/180 = 30

nữ: 80·126/180 = 56, 80·54/180 = 24

Thống kê chi bình phương

χ² = (69 − 70)²/70 + (31 − 30)²/30 + (57 − 56)²/56 + (23 − 24)²/24

χ² = 0,1071

Đáp số

χ² = 0,1071

df = 1. Tại α = 0,05, giá trị tới hạn là 3,841, nên H₀ (tính độc lập) không bị bác bỏ.

14.Kiểm định chi bình phương

Đáp số: χ²_crit = 9,488

Bậc tự do

df = (2 − 1)·(5 − 1) = 4

Bảng

χ²_crit(df = 4, α = 0,05) = 9,488

Đáp số

χ²_crit = 9,488

Bác bỏ H₀ nếu χ² tính được lớn hơn giá trị này.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice