Luyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Giá và lợi suất trái phiếu

Giá trái phiếu: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Nửa năm: C/2, y/2 và 2n kỳ
Lợi suất hiện hành: C/P
Giá và lợi suất: lợi suất tăng → giá giảm

Phương pháp

Tìm coupon mỗi kỳ và lợi suất mỗi kỳ.
Giá = giá trị hiện tại của các khoản coupon (một niên kim) + giá trị hiện tại của mệnh giá.
Với coupon nửa năm, dùng một nửa coupon, một nửa lợi suất và gấp đôi số kỳ.
Kiểm tra: nếu lợi suất cao hơn lãi suất coupon, giá thấp hơn mệnh giá.

CAPM và WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Giá trị doanh nghiệp: V = E + D

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Một thẻ tín dụng tính lãi suất danh nghĩa 17,5% mỗi năm, ghép lãi nửa năm một lần. Tìm lãi suất thực hằng năm EAR theo phần trăm.

r = 17,5%m = 2

EAR = %

2.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Bạn tiết kiệm €300 vào cuối mỗi tháng trong 20 năm. Tài khoản trả lãi 2,4% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Cuối cùng bạn tiết kiệm được bao nhiêu? Tìm FV.

A = €3002,4% / 12N = 240

FV = €

3.NPV và IRRTrung bình

Một khoản đầu tư €45 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 3: €15 000, €20 000, €15 000. Chi phí vốn là 5%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

r = 5%CF₀ = −45 000CF₁ = 15 000CF₂ = 20 000CF₃ = 15 000

NPV = €

4.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €10 000 và mang về €3 500, €5 500, €3 500 vào cuối các năm từ 1 đến 3. Các dòng tiền có thể được tái đầu tư với chi phí vốn 10%. Tìm tỉ suất hoàn vốn nội bộ điều chỉnh MIRR theo phần trăm.

r = 10%CF₀ = −10 000CF₁ = 3 500CF₂ = 5 500CF₃ = 3 500

MIRR = %

5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả coupon hằng năm 7% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 12 năm. Lợi suất đáo hạn là 5,5% mỗi năm. Tìm giá P của trái phiếu.

F = €1 000coupon = 7%YTM = 5,5%n = 12

P = €

6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 và coupon hằng năm 4% đáo hạn sau 7 năm và được bán với giá €1 095. Tìm lợi suất đáo hạn YTM theo phần trăm.

F = €1 000coupon = 4%n = 7P = €1 095

YTM = %

7.CAPM và WACCTrung bình

Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €2 000 000 và nợ trị giá €2 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 10%, chi phí nợ trước thuế là 3,5% và thuế suất là 28%. Tìm WACC.

E = €2 000 000D = €2 000 000r_e = 10%r_d = 3,5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM và WACCKhó

Một công ty có 4 000 000 cổ phiếu giá €43,50 mỗi cổ phiếu và 40 000 trái phiếu giao dịch ở €1 020 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 5% và thuế suất là 20%. Beta của cổ phiếu là 0,8, lãi suất phi rủi ro 1% và lợi suất thị trường 6,5%. Tìm WACC.

β = 0,8r_f = 1%r_m = 6,5%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

9.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 29, 57, 19, 15, 37, 59, 52.

n = 7

s =

10.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 100 và độ lệch chuẩn 12. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 76 là bao nhiêu?

μ = 100σ = 12x = 76

P =

11.Xác suấtTrung bình

Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,3, 0,3, 0,25

Var(X) =

12.Xác suấtKhó

Một bài kiểm tra có 7 câu trắc nghiệm. Một học sinh đoán mò được mỗi câu đúng với xác suất 0,4, độc lập với nhau. Xác suất P để có đúng 3 câu trả lời đúng là bao nhiêu?

n = 7p = 0,4k = 3

P =

13.Phân phối chuẩnTrung bình

điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tỉ lệ nào nằm giữa 85 và 118 điểm? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 100σ = 15x₁ = 85x₂ = 118

P =

14.Phân phối chuẩnKhó

điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 65 điểm và độ lệch chuẩn 10 điểm. Tìm giá trị x mà 5% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 5).

μ = 65σ = 10P = 5%

x = điểm

15.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 8 phần tử có trung bình 102 và độ lệch chuẩn s = 4. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.

n = 8x̄ = 102s = 499%t(7) = 3,499

giới hạn dưới =

16.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 23. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 1,5?

σ = 23E = 1,595%

n =

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 16 sinh viên có điểm trung bình 62 và độ lệch chuẩn mẫu 20. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 62s = 20n = 16

t =

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một kiểm định z một phía ở mức α = 0,01 phải phát hiện được sự dịch chuyển 5 đơn vị của trung bình với lực 90%. Độ lệch chuẩn là 20. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.

α = 0,01lực của kiểm định = 90%δ = 5σ = 20z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Tìm hệ số tương quan Pearson r.

n = 5

r =

20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 47?

n = 5ŷ = 47

x =

3Dung dịch

1.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: EAR = 18,27 %

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất mỗi kỳ

r/m = 0,175/2 = 0,0875

Ghép lãi trong một năm

EAR = (1 + 0,0875)² − 1 = 1,183 − 1 = 18,27%

Đáp số

EAR = 18,27%

EAR luôn cao hơn lãi suất danh nghĩa khi lãi được ghép nhiều hơn một lần mỗi năm.

2.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 92295 €

Lãi suất tháng và số khoản gửi

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·20 = 240

Giá trị tương lai của các khoản gửi

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1,615 − 1)/0,002 = €92 294,99

Đáp số

FV = €92 294,99

Bạn tự nộp vào €72 000; phần còn lại là tiền lãi.

3.NPV và IRR

Đáp số: NPV = 383,9 €

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Giá trị hiện tại của từng dòng tiền

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 15 000/1,05 = 14 285,71

CF₂/(1 + 0,05)² = 20 000/1,103 = 18 140,59

CF₃/(1 + 0,05)³ = 15 000/1,158 = 12 957,56

Cộng lại

NPV = €383,87

Đáp số

NPV = €383,87

NPV dương, nên dự án sinh lời nhiều hơn mức yêu cầu.

4.NPV và IRR

Đáp số: MIRR = 11,29 %

IRR điều chỉnh: ghép lãi mọi dòng tiền vào đến cuối dự án theo lãi suất tái đầu tư (thường là chi phí vốn) để được giá trị cuối kỳ TV. MIRR là tỉ suất biến khoản đầu tư ban đầu thành TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Giá trị cuối kỳ của các dòng tiền vào

3 500·1,1² = 4 235,00

5 500·1,1¹ = 6 050,00

3 500·1,1⁰ = 3 500,00

TV = 13 785,00

MIRR

MIRR = (13 785,00/10 000)^1/3 − 1 = 11,29%

Đáp số

MIRR = 11,29%

5.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: P = 1131 €

Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.

Mỗi kỳ

C = €35,00, i = 0,0275, N = 24

Giá trị hiện tại của các khoản coupon

€35,00·(1 − 0,5215)/0,0275 = €609,03

Giá trị hiện tại của mệnh giá

€1 000·0,5215 = €521,48

Giá

P = €1 130,51

Đáp số

P = €1 130,51

Lợi suất thấp hơn lãi suất coupon, nên trái phiếu được bán với giá cao hơn mệnh giá.

6.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: YTM = 2,504 %

Phương trình cho lợi suất

€1 095 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Giải bằng số

P(2%) = €1 129,44, P(3%) = €1 062,30

YTM = 2,504%

Đáp số

YTM = 2,504%

7.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 6,26 %

Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).

Trọng số

V = €4 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·10% + 0,5·3,5%·(1 − 0,28) = 6,26%

Đáp số

WACC = 6,26%

8.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 5,134 %

Giá trị thị trường

E = 4 000 000·€43,50 = €174 000 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

Chi phí vốn chủ sở hữu (CAPM)

r_e = 1% + 0,8·5,5% = 5,4%

Trọng số

V = €214 800 000, E/V = 0,8101, D/V = 0,1899

WACC

WACC = 0,8101·5,4% + 0,1899·5%·(1 − 0,2) = 5,134%

Đáp số

WACC = 5,134%

9.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 18,12

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 268/7 = 38,29

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−9,286)² + 18,71² + (−19,29)² + (−23,29)² + (−1,286)² + 20,71² + 13,71² = 1969

Độ lệch chuẩn

s = √(1969/6) = 18,12

Đáp số

s = 18,12

10.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,02275

Chuẩn hóa

z = −2

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Đáp số

P = 0,02275

11.Xác suất

Đáp số: Var(X) = 102,8

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 10·0,15 + 20·0,3 + 30·0,3 + 40·0,25 = 26,5

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 100·0,15 + 400·0,3 + 900·0,3 + 1600·0,25 = 805

Phương sai

Var(X) = 805 − 26,5² = 102,8

Đáp số

Var(X) = 102,8

12.Xác suất

Đáp số: P = 0,2903

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Công thức nhị thức

P(X = 3) = 35·0,4³·0,6⁴ = 35·0,064·0,1296 = 0,2903

Đáp số

P = 0,2903

13.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,7263

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (85 − 100)/15 = −1

z₂ = (118 − 100)/15 = 1,2

Diện tích ở giữa

P = Φ(1,2) − Φ(−1) = 0,8849 − 0,1587 = 0,7263

Đáp số

P = 0,7263

14.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 48,55 điểm

z của phân vị

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Quay lại x

x = 65 + −1,645·10 = 48,55 điểm

Đáp số

x = 48,55 điểm

15.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn dưới = 97,05

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 7, t = 3,499

Sai số biên

E = 3,499·4/√8 = 4,948

Khoảng

102 ± 4,948 → [97,05, 106,9]

Đáp số

giới hạn dưới = 97,05

16.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 904

Giải tìm n

n = (1,96·23/1,5)² = 903,2

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 904

Đáp số

n = 904

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = 2,4

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

Thống kê kiểm định

t = (62 − 50)/5 = 2,4

Đáp số

t = 2,4

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: n = 209

Cỡ mẫu cho một kiểm định: để phát hiện sự dịch chuyển thật δ với lực 1 − β trong kiểm định z một phía ở mức α, sai số chuẩn phải thỏa δ = (z_α + z_β)·σ/√n, nên n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = ((2,326 + 1,282)·20/5)² = 208,3

Làm tròn lên

n = 209

Đáp số

n = 209

19.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9987

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 125/5 = 25

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 150

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 564

Hệ số tương quan

r = 150/√(40·564) = 0,9987

Đáp số

r = 0,9987

20.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: x = 4,08

Các giá trị trung bình

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 261/5 = 52,2

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 226

Đường hồi quy

b = 226/40 = 5,65

a = 52,2 − 5,65·5 = 23,95

ŷ = 23,95 + 5,65·x

Giải tìm x

x = (47 − 23,95)/5,65 = 4,08

Đáp số

x = 4,08

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income