Bạn đầu tư €1 000 với lãi suất 4% mỗi năm ghép lãi liên tục. Tìm giá trị FV sau 7 năm.
PV = €1 000r = 4%t = 7
FV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Bạn muốn có €10 000 sau 16 năm. Bạn gửi cùng một số tiền vào cuối mỗi tháng vào một tài khoản trả lãi 4,8% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm khoản tiền gửi hằng tháng A.
FV = €10 0004,8% / 12N = 192
A = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một khoản đầu tư €45 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 3: €10 000, €19 000, €22 000. Chi phí vốn là 8%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
Một dự án tốn €50 000 và mang lại €36 500, €32 000 vào cuối các năm 1 đến 2. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.
CF0 = −50 000CF1 = 36 500CF2 = 32 000
IRR = %
5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả coupon hằng năm 3% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 4 năm. Lợi suất đáo hạn là 5% mỗi năm. Tìm giá P của trái phiếu.
F = €1 000coupon = 3%YTM = 5%n = 4
P = €
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 và coupon hằng năm 6% đáo hạn sau 3 năm và được bán với giá €935. Tìm lợi suất đáo hạn YTM theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 6%n = 3P = €935
YTM = %
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €2 000 000 và nợ trị giá €4 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 10%, chi phí nợ trước thuế là 4,5% và thuế suất là 25,8%. Tìm WACC.
Một công ty có 1 000 000 cổ phiếu giá €22,50 mỗi cổ phiếu và 5 000 trái phiếu giao dịch ở €1 020 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 4,5% và thuế suất là 21%. Beta của cổ phiếu là 0,9, lãi suất phi rủi ro 4% và lợi suất thị trường 10,5%. Tìm WACC.
β = 0,9rf = 4%rm = 10,5%rd = 4,5%T = 21%
WACC = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 15, 14, 33, 18, 31, 45, 37.
n = 7
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 60 và độ lệch chuẩn 20. Tìm điểm z z của điểm số 80.
μ = 60σ = 20x = 80
z =
11.Xác suấtTrung bình
Có bao nhiêu cách N chọn một ủy ban gồm 4 người từ một nhóm 6 người? Thứ tự không quan trọng.
n = 6k = 4
N =
12.Xác suấtKhó
X có phân bố như hiển thị, và Y = 2X + 10. Tìm độ lệch chuẩn σY của Y.
thời gian giao hàng có phân phối chuẩn với trung bình 32 min và độ lệch chuẩn 6 min. Tỉ lệ nào nằm giữa 27,5 và 44,3 min? Cho P dưới dạng số thập phân.
μ = 32σ = 6x1 = 27,5x2 = 44,3
P =
14.Phân phối chuẩnKhó
Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,03 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,015 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
lỗ: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Thời lượng pin của hai mẫu điện thoại được so sánh. Mẫu 1: 100 điện thoại, trung bình 125,5 h, độ lệch chuẩn đã biết 10 h. Mẫu 2: 50 điện thoại, trung bình 139 h, độ lệch chuẩn đã biết 20 h. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 90% cho μ₁ − μ₂.
Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 10 ô, năng suất trung bình 29 kg, độ lệch chuẩn 1,5 kg. Nhóm ô 2: 12 ô, trung bình 18,5 kg, độ lệch chuẩn 7 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 90% cho μ₁ − μ₂.
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Hai dây chuyền sản xuất cùng một chi tiết. Dây chuyền 1: một mẫu 50 chi tiết có chiều dài trung bình 46,5 mm, và độ lệch chuẩn đã biết của dây chuyền là 16 mm. Dây chuyền 2: một mẫu 100 chi tiết có trung bình 43,6 mm, độ lệch chuẩn đã biết 13 mm. Tìm thống kê kiểm định z cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (dây chuyền 1 trừ dây chuyền 2).
Cỡ mẫu phải lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 3? Độ lệch chuẩn là 10. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.
σ = 10E = 399%
n =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
n = 6Σx = 42Σy = 133Σx² = 364Σy² = 3463Σxy = 1120
r =
20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 12.
n = 6x = 12
ŷ =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: FV = 1323 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Số mũ
r·t = 0,04·7 = 0,28
e0,28 = 1,323
Giá trị tương lai
FV = 1 000·1,323 = €1 323,13
Đáp số
FV = €1 323,13
2.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: A = 34,72 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị hiện tại của từng dòng tiền
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 10 000/1,08 = 9 259,26
CF2/(1 + 0,08)2 = 19 000/1,166 = 16 289,44
CF3/(1 + 0,08)3 = 22 000/1,26 = 17 464,31
Cộng lại
NPV = €−1 986,99
Đáp số
NPV = €−1 986,99
NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.
4.NPV và IRR
Đáp số: IRR = 24,43 %
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Kẹp IRR
NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.
NPV(20%) = 2 638,89
NPV(25%) = −320,00
Thu hẹp dần
Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Mỗi kỳ
C = €15,00, i = 0,025, N = 8
Giá trị hiện tại của các khoản coupon
€15,00·(1 − 0,8207)/0,025 = €107,55
Giá trị hiện tại của mệnh giá
€1 000·0,8207 = €820,75
Giá
P = €928,30
Đáp số
P = €928,30
Lợi suất cao hơn lãi suất coupon, nên trái phiếu được bán với giá chiết khấu.
6.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: YTM = 8,547 %
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Phương trình cho lợi suất
€935 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Giải bằng số
P(8%) = €948,46, P(9%) = €924,06
YTM = 8,547%
Đáp số
YTM = 8,547%
7.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 5,559 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (80 − 60)/20 = 1
Đáp số
z = 1
11.Xác suất
Đáp số: N = 15
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Tổ hợp
C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15
Đáp số
N = 15
12.Xác suất
Đáp số: σY = 23,04
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Độ phân tán của X
μ = 23,5, Var(X) = 132,8, σX = 11,52
Phép biến đổi tuyến tính
σY = |2|·11,52 = 23,04
Đáp số
σY = 23,04
Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 2·23,5 + 10 = 57.
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,7532
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
điểm z
z₁ = (27,5 − 32)/6 = −0,75
z₂ = (44,3 − 32)/6 = 2,05
Diện tích ở giữa
P = Φ(2,05) − Φ(−0,75) = 0,9798 − 0,2266 = 0,7532
Đáp số
P = 0,7532
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,8849
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm
Chuẩn hóa
z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2
Xác suất
P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849
Đáp số
P = 0,8849
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn dưới = −18,44 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Ước lượng điểm
x̄₁ − x̄₂ = 125,5 − 139 = −13,5
Sai số chuẩn
SE = √(10²/100 + 20²/50) = 3
Sai số biên
E = 1,645·3 = 4,935
Khoảng
−13,5 ± 4,935 → [−18,44, −8,565]
Đáp số
giới hạn dưới = −18,44 h
Khoảng không chứa 0, nên các trung bình khác nhau có ý nghĩa.
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 3,906 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Độ lệch chuẩn gộp
sp² = (9·1,5² + 11·7²)/20 = 27,96
sp = 5,288
Sai số biên
E = 1,725·5,288·√(1/10 + 1/12) = 3,906
Đáp số
E = 3,906 kg
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: z = 1,111
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Sai số chuẩn của hiệu
SE = √(16²/50 + 13²/100) = √6,81 = 2,61
Thống kê kiểm định
z = (46,5 − 43,6)/2,61 = 1,111
Đáp số
z = 1,111
|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: n = 74
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Giải tìm n
n = (2,576·10/3)² = 73,73
Làm tròn lên
n = 74
Đáp số
n = 74
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9956
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 1120 − 42·133/6 = 189
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 3463 − 133²/6 = 514,8
Hệ số tương quan
r = 189/√(70·514,8) = 0,9956
Đáp số
r = 0,9956
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: ŷ = 86,67
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.