Luyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Giá và lợi suất trái phiếu

Giá trái phiếu: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Nửa năm: C/2, y/2 và 2n kỳ
Lợi suất hiện hành: C/P
Giá và lợi suất: lợi suất tăng → giá giảm

Phương pháp

Tìm coupon mỗi kỳ và lợi suất mỗi kỳ.
Giá = giá trị hiện tại của các khoản coupon (một niên kim) + giá trị hiện tại của mệnh giá.
Với coupon nửa năm, dùng một nửa coupon, một nửa lợi suất và gấp đôi số kỳ.
Kiểm tra: nếu lợi suất cao hơn lãi suất coupon, giá thấp hơn mệnh giá.

CAPM và WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Giá trị doanh nghiệp: V = E + D

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn đầu tư €1 000 với lãi suất danh nghĩa 4% mỗi năm, ghép lãi hằng quý. Tìm giá trị FV của khoản đầu tư sau 8 năm.

PV = €1 0004% / 4n = 8

FV = €

2.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Một khoản vay €150 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 20 năm với lãi suất 5,4% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tổng tiền lãi I phải trả trong suốt thời hạn khoản vay là bao nhiêu?

P = €150 0005,4% / 12N = 240

I = €

3.NPV và IRRTrung bình

Một khoản đầu tư €75 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 3: €26 000, €30 000, €24 000. Chi phí vốn là 5%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

r = 5%CF₀ = −75 000CF₁ = 26 000CF₂ = 30 000CF₃ = 24 000

NPV = €

4.NPV và IRRKhó

Dự án A tốn €30 000 và mang về €17 000, €12 000, €6 500 vào cuối các năm từ 1 đến 3. Dự án B tốn €32 000 và mang về €8 500, €12 500, €17 500. Tìm tỉ suất giao nhau r* mà tại đó hai dự án có cùng NPV, theo phần trăm.

A: −30 000, 17 000, 12 000, 6 500B: −32 000, 8 500, 12 500, 17 500

r* = %

5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả coupon hằng năm 6% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 9 năm. Lợi suất đáo hạn là 7% mỗi năm. Tìm giá P của trái phiếu.

F = €1 000coupon = 6%YTM = 7%n = 9

P = €

6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả trái tức hằng năm 3% và đáo hạn sau 4 năm. Lợi suất đến ngày đáo hạn là 9%. Tìm thời lượng Macaulay D theo năm.

F = €1 000coupon = 3%n = 4YTM = 9%

D = năm

7.CAPM và WACCTrung bình

Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €4 000 000 và nợ trị giá €2 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 9%, chi phí nợ trước thuế là 3,5% và thuế suất là 25%. Tìm WACC.

E = €4 000 000D = €2 000 000r_e = 9%r_d = 3,5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM và WACCKhó

Một công ty có 5 000 000 cổ phiếu giao dịch ở mức giá €54,00; giá trị sổ sách của vốn chủ sở hữu là €108 000 000. Công ty vừa trả cổ tức €2,90 mỗi cổ phiếu, và cổ tức tăng 3% mỗi năm. Nợ của công ty có giá trị thị trường €135 000 000 và chi phí trước thuế 6%. Thuế suất là 30%. Tìm WACC, dùng mô hình tăng trưởng cổ tức cho chi phí vốn chủ sở hữu.

N = 5 000 000P₀ = €54,00vốn chủ sở hữu theo sổ sách = €108 000 000D₀ = €2,90g = 3%D = €135 000 000r_d = 6%T = 30%

WACC = %

9.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 40, 53, 48, 32, 49, 17, 30.

n = 7

s =

10.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 500 và độ lệch chuẩn 100. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 350 là bao nhiêu?

μ = 500σ = 100x = 350

P =

11.Xác suấtTrung bình

Có bao nhiêu cách N chọn một ủy ban gồm 5 người từ một nhóm 10 người? Thứ tự không quan trọng.

n = 10k = 5

N =

12.Xác suấtKhó

Một trò chơi tốn €1 mỗi lượt. Bạn thắng €2 với xác suất 0,1 và €20 với xác suất 0,01; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.

tiền cược = €1€2: p = 0,1€20: p = 0,01

E(G) = €

13.Phân phối chuẩnTrung bình

Kéo z sao cho diện tích tô bóng dưới đường cong chuẩn tắc, bên phải z, bằng 0,8365. Tìm z với hai chữ số thập phân.

A = 0,8365

z =

14.Phân phối chuẩnKhó

Thời gian một vòng X của vận động viên A và Y của vận động viên B là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 52 s và độ lệch chuẩn 4 s, Y có trung bình 48 s và độ lệch chuẩn 3 s. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

15.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 20 phần tử có trung bình 63 và độ lệch chuẩn s = 19. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.

n = 20x̄ = 63s = 1999%t(19) = 2,861

E =

16.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 39. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 0,5?

σ = 39E = 0,590%

n =

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Hai dây chuyền sản xuất cùng một chi tiết. Dây chuyền 1: một mẫu 30 chi tiết có chiều dài trung bình 65,5 mm, và độ lệch chuẩn đã biết của dây chuyền là 7 mm. Dây chuyền 2: một mẫu 100 chi tiết có trung bình 68,1 mm, độ lệch chuẩn đã biết 5 mm. Tìm thống kê kiểm định z cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (dây chuyền 1 trừ dây chuyền 2).

n₁ = 30x̄₁ = 65,5 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 100x̄₂ = 68,1 mmσ₂ = 5 mm

z =

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Cỡ mẫu phải lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 1? Độ lệch chuẩn là 5. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.

σ = 5E = 195%

n =

19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 5Σx = 120Σy = 304Σx² = 2970Σy² = 19446Σxy = 7578

r =

20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (3,5, 23) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 23)

e =

3Dung dịch

1.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 1375 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất và số kỳ

i = r/m = 0,04/4 = 0,01

N = m·n = 4·8 = 32

Giá trị tương lai

FV = 1 000·(1 + 0,01)³² = 1 000·1,375 = €1 374,94

Đáp số

FV = €1 374,94

2.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: I = 95611 €

Khoản thanh toán hằng tháng

i = 0,0045, N = 240

A = 150 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)⁻²⁴⁰) = €1 023,38

Tổng tiền lãi

I = N·A − P = 240·1023 − 150 000 = €95 610,57

Đáp số

I = €95 610,57

3.NPV và IRR

Đáp số: NPV = −2295 €

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Giá trị hiện tại của từng dòng tiền

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 26 000/1,05 = 24 761,90

CF₂/(1 + 0,05)² = 30 000/1,103 = 27 210,88

CF₃/(1 + 0,05)³ = 24 000/1,158 = 20 732,10

Cộng lại

NPV = €−2 295,11

Đáp số

NPV = €−2 295,11

NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.

4.NPV và IRR

Đáp số: r* = 4,323 %

Tỉ suất giao nhau: tỉ suất chiết khấu mà tại đó hai dự án có cùng NPV. Nó là IRR của hiệu các dòng tiền của chúng (B − A). Dưới mức này, dự án có dòng tiền lớn hơn đến muộn hơn có NPV cao hơn; trên mức này, dự án kia thắng.

Hiệu các dòng tiền

ΔCF₀ = −32 000 − (−30 000) = −2 000

ΔCF₁ = 8 500 − 17 000 = −8 500

ΔCF₂ = 12 500 − 12 000 = 500

ΔCF₃ = 17 500 − 6 500 = 11 000

IRR của hiệu

NPV_Δ(4%) = 68,16

NPV_Δ(5%) = −139,51

r* = 4,323%

Đáp số

r* = 4,323%

Kiểm tra: tại 4,323% cả hai NPV đều là €3 046,45.

5.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: P = 934,1 €

Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.

Mỗi kỳ

C = €30,00, i = 0,035, N = 18

Giá trị hiện tại của các khoản coupon

€30,00·(1 − 0,5384)/0,035 = €395,69

Giá trị hiện tại của mệnh giá

€1 000·0,5384 = €538,36

Giá

P = €934,05

Đáp số

P = €934,05

Lợi suất cao hơn lãi suất coupon, nên trái phiếu được bán với giá chiết khấu.

6.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: D = 3,806 năm

Thời lượng (duration): thời lượng Macaulay là thời gian trung bình có trọng số mà trái phiếu trả các dòng tiền của nó, với trọng số là giá trị hiện tại của các dòng tiền: D = Σ t·PVₜ/P. Thời lượng điều chỉnh D/(1 + y) ước lượng phần trăm thay đổi giá khi lợi suất thay đổi nhỏ: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Giá trị hiện tại của từng dòng tiền

t = 1: 30/1,09 = 27,52, t·PV = 27,52

t = 2: 30/1,188 = 25,25, t·PV = 50,50

t = 3: 30/1,295 = 23,17, t·PV = 69,50

t = 4: 1030/1,412 = 729,68, t·PV = 2 918,71

Thời lượng

P = 805,62

D = 3 066,23/805,62 = 3,806

Đáp số

D = 3,806 năm

7.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 6,875 %

Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).

Trọng số

V = €6 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·9% + 0,3333·3,5%·(1 − 0,25) = 6,875%

Đáp số

WACC = 6,875%

8.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 7,088 %

Chi phí vốn chủ sở hữu

D₁ = 2,9·1,03 = €2,99

r_e = 2,987/54 + 0,03 = 8,531%

Giá trị thị trường

E = 5 000 000·€54,00 = €270 000 000

V = €405 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·8,531% + 0,3333·6%·(1 − 0,3) = 7,088%

Đáp số

WACC = 7,088%

9.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 12,84

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 269/7 = 38,43

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 1,571² + 14,57² + 9,571² + (−6,429)² + 10,57² + (−21,43)² + (−8,429)² = 989,7

Độ lệch chuẩn

s = √(989,7/6) = 12,84

Đáp số

s = 12,84

10.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,06681

Chuẩn hóa

z = −1,5

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

Đáp số

P = 0,06681

11.Xác suất

Đáp số: N = 252

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tổ hợp

C(10, 5) = (10·9·8·7·6)/(5·4·3·2·1) = 252

Đáp số

N = 252

12.Xác suất

Đáp số: E(G) = −0,6 €

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Các kết quả ròng

G: 1 (p = 0,1), 19 (p = 0,01), −1 (p = 0,89)

Giá trị kỳ vọng

E(G) = 1·0,1 + 19·0,01 − 1·0,89 = −0,6 €

Đáp số

E(G) = −0,6 €

Giá trị âm nghĩa là trung bình bạn thua tiền.

13.Phân phối chuẩn

Đáp số: z = −0,98

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái z

Φ(z) = 1 − 0,8365 = 0,1635

Đọc bảng z theo chiều ngược lại

Tìm 0,1635 bên trong bảng và đọc ra z.

z = −0,98

Đáp số

z = −0,98

14.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,7881

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của hiệu

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Chuẩn hóa

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Xác suất

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Đáp số

P = 0,7881

15.Khoảng tin cậy

Đáp số: E = 12,16

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 19, t = 2,861

Sai số biên

E = 2,861·19/√20 = 12,16

Đáp số

E = 12,16

16.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 16464

Giải tìm n

n = (1,645·39/0,5)² = 16463

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 16464

Đáp số

n = 16464

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: z = −1,895

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Sai số chuẩn của hiệu

SE = √(7²/30 + 5²/100) = √1,883 = 1,372

Thống kê kiểm định

z = (65,5 − 68,1)/1,372 = −1,895

Đáp số

z = −1,895

|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: n = 97

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Giải tìm n

n = (1,96·5/1)² = 96,04

Làm tròn lên

n = 97

Đáp số

n = 97

19.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,958

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

S_xy = 7578 − 120·304/5 = 282

S_xx = 2970 − 120²/5 = 90

S_yy = 19446 − 304²/5 = 962,8

Hệ số tương quan

r = 282/√(90·962,8) = 0,958

Đáp số

r = 0,958

20.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = −2,25

Các giá trị trung bình

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 131/5 = 26,2

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19

Đường hồi quy

b = −19/10 = −1,9

a = 26,2 − (−1,9)·3 = 31,9

ŷ = 31,9 − 1,9·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 31,9 + (−1,9)·3,5 = 25,25

Phần dư

e = 23 − 25,25 = −2,25

Đáp số

e = −2,25

Điểm nằm phía dưới đường thẳng.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income