Luyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Giá và lợi suất trái phiếu

Giá trái phiếu: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Nửa năm: C/2, y/2 và 2n kỳ
Lợi suất hiện hành: C/P
Giá và lợi suất: lợi suất tăng → giá giảm

Phương pháp

Tìm coupon mỗi kỳ và lợi suất mỗi kỳ.
Giá = giá trị hiện tại của các khoản coupon (một niên kim) + giá trị hiện tại của mệnh giá.
Với coupon nửa năm, dùng một nửa coupon, một nửa lợi suất và gấp đôi số kỳ.
Kiểm tra: nếu lợi suất cao hơn lãi suất coupon, giá thấp hơn mệnh giá.

CAPM và WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Giá trị doanh nghiệp: V = E + D

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn đầu tư €20 000 với lãi suất danh nghĩa 3% mỗi năm, ghép lãi hằng quý. Tìm giá trị FV của khoản đầu tư sau 8 năm.

PV = €20 0003% / 4n = 8

FV = €

2.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Bạn muốn có €30 000 sau 6 năm. Bạn gửi cùng một số tiền vào cuối mỗi tháng vào một tài khoản trả lãi 6% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm khoản tiền gửi hằng tháng A.

FV = €30 0006% / 12N = 72

A = €

3.NPV và IRRTrung bình

Một khoản đầu tư €75 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 4: €24 000, €36 000, €33 000, €37 000. Chi phí vốn là 8%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

r = 8%CF₀ = −75 000CF₁ = 24 000CF₂ = 36 000CF₃ = 33 000CF₄ = 37 000

NPV = €

4.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €40 000 và mang lại €29 000, €18 500, €16 000 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

CF₀ = −40 000CF₁ = 29 000CF₂ = 18 500CF₃ = 16 000

IRR = %

5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả coupon hằng năm 4% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 6 năm. Lợi suất đáo hạn là 3,5% mỗi năm. Tìm giá P của trái phiếu.

F = €1 000coupon = 4%YTM = 3,5%n = 6

P = €

6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó

Một trái phiếu giao dịch ở mức giá €1 085 với lợi suất đến ngày đáo hạn 5% (ghép lãi hằng năm) và thời lượng Macaulay 8,1 năm. Dùng thời lượng điều chỉnh để ước lượng giá mới P nếu lợi suất giảm 75 điểm cơ bản.

P₀ = €1 085y = 5%D = 8,1Δy = −75 bp

P = €

7.CAPM và WACCTrung bình

Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €3 000 000 và nợ trị giá €1 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 13%, chi phí nợ trước thuế là 4,5% và thuế suất là 28%. Tìm WACC.

E = €3 000 000D = €1 000 000r_e = 13%r_d = 4,5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM và WACCKhó

Một công ty có 5 000 000 cổ phiếu giá €42,00 mỗi cổ phiếu và 5 000 trái phiếu giao dịch ở €1 050 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 4,5% và thuế suất là 21%. Beta của cổ phiếu là 1,1, lãi suất phi rủi ro 2,5% và lợi suất thị trường 9,5%. Tìm WACC.

β = 1,1r_f = 2,5%r_m = 9,5%r_d = 4,5%T = 21%

WACC = %

9.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 47, 38, 20, 47, 53, 39.

n = 6

s =

10.Thống kê mô tảKhó

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 50 và độ lệch chuẩn 20. Tìm điểm z z của điểm số 34.

μ = 50σ = 20x = 34

z =

11.Xác suấtTrung bình

Gieo một con xúc xắc cân đối 4 lần. Xác suất P để được ít nhất một lần ra mặt sáu là bao nhiêu?

n = 4

P =

12.Xác suấtKhó

X có phân bố như hiển thị, và Y = −2X + 4. Tìm độ lệch chuẩn σ_Y của Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,25, 0,2, 0,35Y = −2X + 4

σ_Y =

13.Phân phối chuẩnTrung bình

X có phân bố chuẩn với trung bình 250 g và độ lệch chuẩn 4 g; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 500 g và độ lệch chuẩn 9 g. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 754,9 g. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 754,9 g

P =

14.Phân phối chuẩnKhó

Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,04 mm và độ lệch chuẩn 0,01 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,015 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

lỗ: μ = 25,04 mm, σ = 0,01 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

15.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 13 phần tử có trung bình 33 và độ lệch chuẩn s = 8,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.

n = 13x̄ = 33s = 8,599%t(12) = 3,055

giới hạn trên =

16.Khoảng tin cậyKhó

Đường kính của 16 trục gia công có độ lệch chuẩn mẫu 10,3 µm. Giả sử các đường kính tuân theo phân phối chuẩn, hãy tìm σ giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho độ lệch chuẩn tổng thể. Với df = 15, 2,5% của phân phối χ² nằm dưới 6,262 và 2,5% nằm trên 27,488.

n = 16s = 10,3 µmχ² = 6,262, 27,488

σ = µm

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 64 sinh viên có điểm trung bình 118,9 và độ lệch chuẩn mẫu 5. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 118,9s = 5n = 64

t =

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Cỡ mẫu phải lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 1,5? Độ lệch chuẩn là 10. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.

σ = 10E = 1,590%

n =

19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.

n = 6

r² =

20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 70?

n = 6ŷ = 70

x =

3Dung dịch

1.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 25402 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất và số kỳ

i = r/m = 0,03/4 = 0,0075

N = m·n = 4·8 = 32

Giá trị tương lai

FV = 20 000·(1 + 0,0075)³² = 20 000·1,27 = €25 402,22

Đáp số

FV = €25 402,22

2.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: A = 347,2 €

Lãi suất tháng và số khoản gửi

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·6 = 72

Khoản tiền gửi

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 30 000·0,005/(1,432 − 1) = €347,19

Đáp số

A = €347,19

3.NPV và IRR

Đáp số: NPV = 31479 €

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Giá trị hiện tại của từng dòng tiền

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 24 000/1,08 = 22 222,22

CF₂/(1 + 0,08)² = 36 000/1,166 = 30 864,20

CF₃/(1 + 0,08)³ = 33 000/1,26 = 26 196,46

CF₄/(1 + 0,08)⁴ = 37 000/1,36 = 27 196,10

Cộng lại

NPV = €31 478,99

Đáp số

NPV = €31 478,99

NPV dương, nên dự án sinh lời nhiều hơn mức yêu cầu.

4.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 31,07 %

Kẹp IRR

NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.

NPV(30%) = 537,10

NPV(35%) = −1 864,55

Thu hẹp dần

Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.

IRR ≈ 30 + 5·537,10/(537,10 − (−1 864,55)) = 31,12%

chính xác: NPV(31,07%) = 0 → IRR = 31,07%

Đáp số

IRR = 31,07%

5.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: P = 1027 €

Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.

Mỗi kỳ

C = €20,00, i = 0,0175, N = 12

Giá trị hiện tại của các khoản coupon

€20,00·(1 − 0,8121)/0,0175 = €214,79

Giá trị hiện tại của mệnh giá

€1 000·0,8121 = €812,06

Giá

P = €1 026,85

Đáp số

P = €1 026,85

Lợi suất thấp hơn lãi suất coupon, nên trái phiếu được bán với giá cao hơn mệnh giá.

6.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: P = 1148 €

Thời lượng (duration): thời lượng Macaulay là thời gian trung bình có trọng số mà trái phiếu trả các dòng tiền của nó, với trọng số là giá trị hiện tại của các dòng tiền: D = Σ t·PVₜ/P. Thời lượng điều chỉnh D/(1 + y) ước lượng phần trăm thay đổi giá khi lợi suất thay đổi nhỏ: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Thời lượng điều chỉnh

D_mod = 8,1/1,05 = 7,714

Thay đổi giá ước lượng

%ΔP ≈ −7,714·(−0,0075) = 5,786%

P ≈ 1085·(1 + 0,05786) = €1 147,77

Đáp số

P = €1 147,77

Thời lượng là một ước lượng tuyến tính; với thay đổi lợi suất lớn, độ lồi làm giá thực cao hơn một chút.

7.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 10,56 %

Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).

Trọng số

V = €4 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25

WACC

WACC = 0,75·13% + 0,25·4,5%·(1 − 0,28) = 10,56%

Đáp số

WACC = 10,56%

8.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 10,04 %

Giá trị thị trường

E = 5 000 000·€42,00 = €210 000 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

Chi phí vốn chủ sở hữu (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,1·7% = 10,2%

Trọng số

V = €215 250 000, E/V = 0,9756, D/V = 0,02439

WACC

WACC = 0,9756·10,2% + 0,02439·4,5%·(1 − 0,21) = 10,04%

Đáp số

WACC = 10,04%

9.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 11,57

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 244/6 = 40,67

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 6,333² + (−2,667)² + (−20,67)² + 6,333² + 12,33² + (−1,667)² = 669,3

Độ lệch chuẩn

s = √(669,3/5) = 11,57

Đáp số

s = 11,57

10.Thống kê mô tả

Đáp số: z = −0,8

Chuẩn hóa

z = (34 − 50)/20 = −0,8

Đáp số

z = −0,8

11.Xác suất

Đáp số: P = 0,5177

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Biến cố bù

P(không có mặt sáu) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Đáp số

P = 0,5177

12.Xác suất

Đáp số: σ_Y = 4,578

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Độ phân tán của X

μ = 3,4, Var(X) = 5,24, σ_X = 2,289

Phép biến đổi tuyến tính

σ_Y = |−2|·2,289 = 4,578

Đáp số

σ_Y = 4,578

Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = −2·3,4 + 4 = −2,8.

13.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,3085

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Chuẩn hóa

z = (754,9 − 750)/9,849 = 0,5

Đuôi trên

P = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085

Đáp số

P = 0,3085

14.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,9868

Phân bố của hiệu

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,01803 mm

Chuẩn hóa

z = (0 − 0,04)/0,01803 = −2,22

Xác suất

P = 1 − Φ(−2,22) = 0,9868

Đáp số

P = 0,9868

15.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 40,2

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 12, t = 3,055

Sai số biên

E = 3,055·8,5/√13 = 7,202

Khoảng

33 ± 7,202 → [25,8, 40,2]

Đáp số

giới hạn trên = 40,2

16.Khoảng tin cậy

Đáp số: σ = 15,94 µm

Khoảng cho một phương sai: (n − 1)s²/σ² có phân phối χ² với n − 1 bậc tự do. Khoảng 95% cho σ² chạy từ (n − 1)s² chia cho giá trị χ² trên (2,5% nằm trên nó) đến (n − 1)s² chia cho giá trị χ² dưới (2,5% nằm dưới nó); khoảng cho σ là căn bậc hai của cả hai giới hạn. Nó không đối xứng quanh s.

Tổng bình phương

(n − 1)s² = 15·10,3² = 1591

Các giới hạn cho σ²

1591/27,488 = 57,89

1591/6,262 = 254,1

Giới hạn cho σ

σ = √254,1 = 15,94 µm

Đáp số

σ = 15,94 µm

Khoảng 95% cho σ: [7,609, 15,94] µm.

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −1,76

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 5/√64 = 5/8 = 0,625

Thống kê kiểm định

t = (118,9 − 120)/0,625 = −1,76

Đáp số

t = −1,76

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: n = 121

Giải tìm n

n = (1,645·10/1,5)² = 120,3

Làm tròn lên

n = 121

Đáp số

n = 121

19.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r² = 0,9839

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 311/6 = 51,83

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 323

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1515

Hệ số xác định

r² = 323²/(70·1515) = 0,9839

Đáp số

r² = 0,9839

Khoảng 98,39% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

20.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: x = 23,14

Các giá trị trung bình

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 375/6 = 62,5

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 245

Đường hồi quy

b = 245/70 = 3,5

a = 62,5 − 3,5·21 = −11

ŷ = −11 + 3,5·x

Giải tìm x

x = (70 − (−11))/3,5 = 23,14

Đáp số

x = 23,14

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income