Dự án A tốn €10 000 và mang về €5 500, €4 000, €2 500 vào cuối các năm từ 1 đến 3. Dự án B tốn €15 000 và mang về €4 000, €6 000, €8 000. Tìm tỉ suất giao nhau r* mà tại đó hai dự án có cùng NPV, theo phần trăm.
Bạn mua một trái phiếu còn 5 năm đến ngày đáo hạn (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 7%) khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 9%. Một năm sau, ngay sau khi nhận trái tức đầu tiên, bạn bán nó khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 9,5%. Tìm tỉ suất sinh lợi trong thời gian nắm giữ HPR theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 7%n = 5y0 = 9%y1 = 9,5%
HPR = %
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 và coupon hằng năm 3% đáo hạn sau 7 năm và được bán với giá €1 135. Tìm lợi suất đáo hạn YTM theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 3%n = 7P = €1 135
YTM = %
7.CAPM và WACCTrung bình
Một cổ phiếu có beta 0,8 có tỉ suất sinh lợi yêu cầu 6,2%. Lãi suất phi rủi ro là 3%. CAPM hàm ý tỉ suất sinh lợi thị trường kỳ vọng rm là bao nhiêu?
β = 0,8re = 6,2%rf = 3%
rm = %
8.CAPM và WACCKhó
Một công ty có 4 000 000 cổ phiếu giá €50,00 mỗi cổ phiếu và 10 000 trái phiếu giao dịch ở €980 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 4,5% và thuế suất là 20%. Beta của cổ phiếu là 1,2, lãi suất phi rủi ro 1,5% và lợi suất thị trường 8,5%. Tìm WACC.
β = 1,2rf = 1,5%rm = 8,5%rd = 4,5%T = 20%
WACC = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 14, 20, 54, 28, 21, 16.
n = 6
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 500 và độ lệch chuẩn 75. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 410 là bao nhiêu?
μ = 500σ = 75x = 410
P =
11.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,1, 0,3, 0,3, 0,3
σ =
12.Xác suấtKhó
X có phân bố như hiển thị, và Y = 0,5X + 10. Tìm độ lệch chuẩn σY của Y.
Kéo z sao cho diện tích tô bóng giữa −z và z dưới đường cong chuẩn tắc bằng 0,3899. Tìm z với hai chữ số thập phân.
A = 0,3899
z =
14.Phân phối chuẩnKhó
tuổi thọ pin tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 500 h và độ lệch chuẩn 40 h. Kéo ngưỡng sao cho 10% cao nhất được tô bóng nằm bên phải nó. Tìm ngưỡng x.
μ = 500 hσ = 40 h10%
x = h
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 16 phần tử có trung bình 98,5 và độ lệch chuẩn s = 10. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.
n = 16x̄ = 98,5s = 1095%t(15) = 2,131
giới hạn trên =
16.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 19. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 2,5?
σ = 19E = 2,595%
n =
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
8 nhân viên làm bài kiểm tra đánh máy trước và sau một khóa đào tạo. Với mỗi người, hiệu d = sau − trước (từ mỗi phút) được ghi lại. Hiệu trung bình là −5,95 và độ lệch chuẩn của các hiệu là 9,9. Tìm thống kê kiểm định ghép cặp t cho H₀: μd = 0.
n = 8d̄ = −5,95sd = 9,9
t =
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một kiểm định z một phía của H₀: μ = 200 với H₁: μ < 200 được thực hiện ở mức α = 0.01 với một mẫu 25; độ lệch chuẩn đã biết là 12.5. Trên thực tế trung bình là 194.5. Tìm lực của kiểm định 1 − β theo phần trăm.
μ₀ = 200μ = 194,5σ = 12,5n = 25α = 0,01
1 − β = %
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Tìm hệ số tương quan Pearson r.
n = 6
r =
20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (17, 68) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.
n = 5(17, 68)
e =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: PV = 9747 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Lãi suất và số kỳ
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·9 = 108
Giá trị hiện tại
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,539 = €9 746,54
Đáp số
PV = €9 746,54
2.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: FV = 53139 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị hiện tại của từng dòng tiền
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 23 000/1,12 = 20 535,71
CF2/(1 + 0,12)2 = 33 000/1,254 = 26 307,40
CF3/(1 + 0,12)3 = 35 000/1,405 = 24 912,31
Cộng lại
NPV = €−3 244,58
Đáp số
NPV = €−3 244,58
NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.
4.NPV và IRR
Đáp số: r* = 5,886 %
Tỉ suất giao nhau: tỉ suất chiết khấu mà tại đó hai dự án có cùng NPV. Nó là IRR của hiệu các dòng tiền của chúng (B − A). Dưới mức này, dự án có dòng tiền lớn hơn đến muộn hơn có NPV cao hơn; trên mức này, dự án kia thắng.
Hiệu các dòng tiền
ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 4 000 − 5 500 = −1 500
ΔCF2 = 6 000 − 4 000 = 2 000
ΔCF3 = 8 000 − 2 500 = 5 500
IRR của hiệu
NPVΔ(5%) = 136,59
NPVΔ(6%) = −17,20
r* = 5,886%
Đáp số
r* = 5,886%
Kiểm tra: tại 5,886% cả hai NPV đều là €867,70.
5.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: HPR = 7,339 %
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Phương trình cho lợi suất
€1 135 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Giải bằng số
P(1%) = €1 134,56, P(1%) = €1 134,56
YTM = 0,994%
Đáp số
YTM = 0,994%
7.CAPM và WACC
Đáp số: rm = 7 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Phần bù rủi ro thị trường
rm − rf = (6,2% − 3%)/0,8 = 4%
Tỉ suất sinh lợi thị trường
rm = 3% + 4% = 7%
Đáp số
rm = 7%
8.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 9,606 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = −1,2
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Đáp số
P = 0,8849
11.Xác suất
Đáp số: σ = 9,798
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Độ phân tán của X
μ = 25, Var(X) = 155, σX = 12,45
Phép biến đổi tuyến tính
σY = |0,5|·12,45 = 6,225
Đáp số
σY = 6,225
Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 0,5·25 + 10 = 22,5.
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: z = 0,51
Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.
Diện tích bên trái z
Φ(z) = (1 + 0,3899)/2 = 0,6950
Đọc bảng z theo chiều ngược lại
Tìm 0,6950 bên trong bảng và đọc ra z.
z = 0,51
Đáp số
z = 0,51
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 551 h
Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.
Diện tích bên trái
Φ(z) = 0,9
z từ bảng
z ≈ 1,28
Trở lại đơn vị ban đầu
x = 500 + 1,28·40 = 551 h
Đáp số
x = 551 h
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn trên = 103,8
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 15, t = 2,131
Sai số biên
E = 2,131·10/√16 = 5,327
Khoảng
98,5 ± 5,327 → [93,17, 103,8]
Đáp số
giới hạn trên = 103,8
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 222
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (1,96·19/2,5)² = 221,9
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 222
Đáp số
n = 222
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = −1,7
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Sai số chuẩn của hiệu trung bình
SE = 9,9/√8 = 3,5
Thống kê kiểm định
t = −5,95/3,5 = −1,7
Đáp số
t = −1,7
Với df = 7, giá trị tới hạn hai phía ở mức 5% là 2,365; |t| nhỏ hơn, nên H₀ không bị bác bỏ.
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: 1 − β = 44,99 %
Lực của một kiểm định: lực = 1 − β là xác suất bác bỏ H₀ khi nó sai. Tìm ngưỡng x̄c từ μ₀ và z_α, rồi tính xác suất rơi vượt quá x̄c bằng trung bình thật: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Trung bình mẫu tới hạn
SE = 12,5/√25 = 2,5
x̄c = 200 − 2,326·2,5 = 194,2
z theo trung bình thật
z = (194,2 − 194,5)/2,5 = −0,126
Công suất
lực của kiểm định = P(Z < −0.126) = 44.99%
1 − β = 44,99%
Đáp số
1 − β = 44,99%
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9827
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 88/6 = 14,67
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 146
Syy = Σ(y − ȳ)² = 315,3
Hệ số tương quan
r = 146/√(70·315,3) = 0,9827
Đáp số
r = 0,9827
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: e = 5,3
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.