Luyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Giá và lợi suất trái phiếu

Giá trái phiếu: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Nửa năm: C/2, y/2 và 2n kỳ
Lợi suất hiện hành: C/P
Giá và lợi suất: lợi suất tăng → giá giảm

Phương pháp

Tìm coupon mỗi kỳ và lợi suất mỗi kỳ.
Giá = giá trị hiện tại của các khoản coupon (một niên kim) + giá trị hiện tại của mệnh giá.
Với coupon nửa năm, dùng một nửa coupon, một nửa lợi suất và gấp đôi số kỳ.
Kiểm tra: nếu lợi suất cao hơn lãi suất coupon, giá thấp hơn mệnh giá.

CAPM và WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Giá trị doanh nghiệp: V = E + D

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn đầu tư €8 000 với lãi suất danh nghĩa 5% mỗi năm, ghép lãi hằng quý. Tìm giá trị FV của khoản đầu tư sau 3 năm.

PV = €8 0005% / 4n = 3

FV = €

2.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Một khoản vay €150 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 20 năm. Lãi suất là 3% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm khoản thanh toán hằng tháng A.

P = €150 0003% / 12N = 240

A = €

3.NPV và IRRTrung bình

Một khoản đầu tư €20 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 3: €7 000, €5 000, €6 000. Chi phí vốn là 5%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 5 000CF₃ = 6 000

NPV = €

4.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €10 000 và mang lại €7 000, €4 000, €3 500 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 000CF₂ = 4 000CF₃ = 3 500

IRR = %

5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả coupon hằng năm 5% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 9 năm. Lợi suất đáo hạn là 6% mỗi năm. Tìm giá P của trái phiếu.

F = €1 000coupon = 5%YTM = 6%n = 9

P = €

6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó

Một trái phiếu còn 14 năm đến ngày đáo hạn (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 7%) được bán với giá €1 144. Tổ chức phát hành có thể mua lại nó sau 5 năm với giá mua lại €1 070. Tìm lợi suất đến ngày mua lại YTC theo phần trăm.

F = €1 000coupon = 7%P = €1 144giá mua lại = €1 070mua lại sau 5 năm

YTC = %

7.CAPM và WACCTrung bình

Một công ty được tài trợ bằng cổ phiếu phổ thông trị giá €8 000 000, cổ phiếu ưu đãi trị giá €500 000 và nợ trị giá €2 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 14%, chi phí cổ phiếu ưu đãi 7% và chi phí nợ trước thuế 4,5%. Thuế suất là 20%. Tìm WACC.

E = €8 000 000P_s = €500 000D = €2 000 000r_e = 14%r_p = 7%r_d = 4,5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM và WACCKhó

Cổ phiếu của một công ty có beta 0,9 ở tỉ lệ nợ trên vốn chủ sở hữu hiện tại 0,5. Công ty dự định tăng tỉ lệ nợ trên vốn chủ sở hữu lên 0,6. Thuế suất là 20%, lãi suất phi rủi ro 3,5% và phần bù rủi ro thị trường 5,5%. Tìm chi phí vốn chủ sở hữu r_e sau thay đổi.

β_L = 0,9D/E₁ = 0,5D/E₂ = 0,6T = 20%r_f = 3,5%r_m − r_f = 5,5%

r_e = %

9.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 36, 40, 37, 51, 22, 18.

n = 6

s =

10.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 60 và độ lệch chuẩn 8. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 63,2 là bao nhiêu?

μ = 60σ = 8x = 63,2

P =

11.Xác suấtTrung bình

Một túi chứa 6 quả bóng đỏ và 9 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?

6 / 9

P =

12.Xác suấtKhó

5 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,25, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?

n = 5p = 0,25

P =

13.Phân phối chuẩnTrung bình

Kéo z sao cho diện tích tô bóng giữa −z và z dưới đường cong chuẩn tắc bằng 0,5705. Tìm z với hai chữ số thập phân.

A = 0,5705

z =

14.Phân phối chuẩnKhó

chiều cao của nam giới trưởng thành tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 178 cm và độ lệch chuẩn 7 cm. Kéo ngưỡng sao cho 40% thấp nhất được tô bóng nằm bên trái nó. Tìm ngưỡng x.

μ = 178 cmσ = 7 cm40%

x = cm

15.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 13 phần tử có trung bình 19,5 và độ lệch chuẩn s = 11. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.

n = 13x̄ = 19,5s = 1190%t(12) = 1,782

E =

16.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 37. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 4?

σ = 37E = 490%

n =

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 16 sinh viên có điểm trung bình 74,1 và độ lệch chuẩn mẫu 4. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 74,1s = 4n = 16

t =

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Cỡ mẫu phải lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 0,5? Độ lệch chuẩn là 15. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.

σ = 15E = 0,590%

n =

19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.

n = 6

r² =

20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 73?

n = 6ŷ = 73

x =

3Dung dịch

1.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 9286 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất và số kỳ

i = r/m = 0,05/4 = 0,0125

N = m·n = 4·3 = 12

Giá trị tương lai

FV = 8 000·(1 + 0,0125)¹² = 8 000·1,161 = €9 286,04

Đáp số

FV = €9 286,04

2.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: A = 831,9 €

Lãi suất tháng và số kỳ thanh toán

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·20 = 240

Khoản thanh toán

Giá trị hiện tại của N khoản thanh toán bằng nhau A là A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Cho nó bằng khoản vay và giải tìm A.

(1 + i)^−N = 0,5492

A = 150 000·0,0025/(1 − 0,5492) = €831,90

Đáp số

A = €831,90

3.NPV và IRR

Đáp số: NPV = −3615 €

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Giá trị hiện tại của từng dòng tiền

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 7 000/1,05 = 6 666,67

CF₂/(1 + 0,05)² = 5 000/1,103 = 4 535,15

CF₃/(1 + 0,05)³ = 6 000/1,158 = 5 183,03

Cộng lại

NPV = €−3 615,16

Đáp số

NPV = €−3 615,16

NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.

4.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 24,63 %

Kẹp IRR

NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.

NPV(20%) = 636,57

NPV(25%) = −48,00

Thu hẹp dần

Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.

IRR ≈ 20 + 5·636,57/(636,57 − (−48,00)) = 24,65%

chính xác: NPV(24,63%) = 0 → IRR = 24,63%

Đáp số

IRR = 24,63%

5.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: P = 931,2 €

Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.

Mỗi kỳ

C = €25,00, i = 0,03, N = 18

Giá trị hiện tại của các khoản coupon

€25,00·(1 − 0,5874)/0,03 = €343,84

Giá trị hiện tại của mệnh giá

€1 000·0,5874 = €587,39

Giá

P = €931,23

Đáp số

P = €931,23

Lợi suất cao hơn lãi suất coupon, nên trái phiếu được bán với giá chiết khấu.

6.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: YTC = 4,947 %

Phương trình cho lợi suất

1144 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1070/(1 + y)⁵

Giải bằng số

y = 4%: €1 191,09

y = 5%: €1 141,44

YTC = 4,947%

Đáp số

YTC = 4,947%

Lợi suất đến ngày đáo hạn là 5,499%. Nhà đầu tư vào trái phiếu giá cao hơn mệnh giá kỳ vọng nó sẽ bị mua lại, nên lợi suất đến ngày mua lại thấp hơn là con số thực tế hơn.

7.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 11,69 %

Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).

Trọng số

V = 8 000 000 + 500 000 + 2 000 000 = €10 500 000

E/V = 0,7619, P_s/V = 0,04762, D/V = 0,1905

WACC

WACC = 0,7619·14% + 0,04762·7% + 0,1905·4,5%·(1 − 0,2) = 11,69%

Đáp số

WACC = 11,69%

8.CAPM và WACC

Đáp số: r_e = 8,733 %

Beta có đòn bẩy (Hamada): nợ làm vốn chủ sở hữu rủi ro hơn. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), trong đó β_U là beta của hoạt động kinh doanh không có nợ. Để chuyển beta sang cơ cấu vốn khác, hãy bỏ đòn bẩy trước rồi áp lại đòn bẩy với D/E mới.

Bỏ đòn bẩy của beta

β_U = 0,9/(1 + 0,8·0,5) = 0,6429

Áp lại đòn bẩy ở D/E mới

β_L = 0,6429·(1 + 0,8·0,6) = 0,9514

Chi phí vốn chủ sở hữu (CAPM)

r_e = 3,5% + 0,9514·5,5% = 8,733%

Đáp số

r_e = 8,733%

9.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 12,15

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 204/6 = 34

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 2² + 6² + 3² + 17² + (−12)² + (−16)² = 738

Độ lệch chuẩn

s = √(738/5) = 12,15

Đáp số

s = 12,15

10.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,3446

Chuẩn hóa

z = 0,4

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Đáp số

P = 0,3446

11.Xác suất

Đáp số: P = 0,1429

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Lần rút thứ nhất và thứ hai

P = 6/15 · 5/14 = 30/210 = 0,1429

Đáp số

P = 0,1429

12.Xác suất

Đáp số: P = 0,6328

Không hỏng và một hỏng

P(X = 0) = 0,75⁵ = 0,2373

P(X = 1) = 5·0,25·0,75⁴ = 0,3955

Cộng lại

P = 0,2373 + 0,3955 = 0,6328

Đáp số

P = 0,6328

13.Phân phối chuẩn

Đáp số: z = 0,79

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái z

Φ(z) = (1 + 0,5705)/2 = 0,7852

Đọc bảng z theo chiều ngược lại

Tìm 0,7852 bên trong bảng và đọc ra z.

z = 0,79

Đáp số

z = 0,79

14.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 176,3 cm

Diện tích bên trái

Φ(z) = 0,4

z từ bảng

z ≈ −0,25

Trở lại đơn vị ban đầu

x = 178 − 0,25·7 = 176,3 cm

Đáp số

x = 176,3 cm

15.Khoảng tin cậy

Đáp số: E = 5,437

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 12, t = 1,782

Sai số biên

E = 1,782·11/√13 = 5,437

Đáp số

E = 5,437

16.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 232

Giải tìm n

n = (1,645·37/4)² = 231,5

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 232

Đáp số

n = 232

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −0,9

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 4/√16 = 4/4 = 1

Thống kê kiểm định

t = (74,1 − 75)/1 = −0,9

Đáp số

t = −0,9

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: n = 2436

Giải tìm n

n = (1,645·15/0,5)² = 2435

Làm tròn lên

n = 2436

Đáp số

n = 2436

19.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r² = 0,9789

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 147/6 = 24,5

ȳ = 819/6 = 136,5

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 964,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 6034

Hệ số xác định

r² = 964,5²/(157,5·6034) = 0,9789

Đáp số

r² = 0,9789

Khoảng 97,89% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

20.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: x = 6,483

Các giá trị trung bình

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 404/6 = 67,33

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 50

Đường hồi quy

b = 50/17,5 = 2,857

a = 67,33 − 2,857·4,5 = 54,48

ŷ = 54,48 + 2,857·x

Giải tìm x

x = (73 − 54,48)/2,857 = 6,483

Đáp số

x = 6,483

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income