Luyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Giá và lợi suất trái phiếu

Giá trái phiếu: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Nửa năm: C/2, y/2 và 2n kỳ
Lợi suất hiện hành: C/P
Giá và lợi suất: lợi suất tăng → giá giảm

Phương pháp

Tìm coupon mỗi kỳ và lợi suất mỗi kỳ.
Giá = giá trị hiện tại của các khoản coupon (một niên kim) + giá trị hiện tại của mệnh giá.
Với coupon nửa năm, dùng một nửa coupon, một nửa lợi suất và gấp đôi số kỳ.
Kiểm tra: nếu lợi suất cao hơn lãi suất coupon, giá thấp hơn mệnh giá.

CAPM và WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Giá trị doanh nghiệp: V = E + D

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn cần €10 000 sau 8 năm. Một tài khoản trả lãi 4% mỗi năm, ghép lãi hằng quý. Hôm nay bạn phải gửi bao nhiêu? Tìm giá trị hiện tại PV.

FV = €10 0004% / 4n = 8

PV = €

2.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Bạn vay €8 000 với lãi suất 2,4% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng, và trả €150 vào cuối mỗi tháng. Cần bao nhiêu tháng để trả hết khoản vay (khoản thanh toán cuối có thể nhỏ hơn)? Cho số lần thanh toán N.

P = €8 000A = €1502,4% / 12

N = lần thanh toán

3.NPV và IRRTrung bình

Một khoản đầu tư €75 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 4: €37 000, €21 000, €33 000, €24 000. Chi phí vốn là 5%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

r = 5%CF₀ = −75 000CF₁ = 37 000CF₂ = 21 000CF₃ = 33 000CF₄ = 24 000

NPV = €

4.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €40 000 và mang lại €26 500, €19 500 vào cuối các năm 1 đến 2. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

CF₀ = −40 000CF₁ = 26 500CF₂ = 19 500

IRR = %

5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả coupon hằng năm 3% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 5 năm. Lợi suất đáo hạn là 3,5% mỗi năm. Tìm giá P của trái phiếu.

F = €1 000coupon = 3%YTM = 3,5%n = 5

P = €

6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 và coupon hằng năm 7% đáo hạn sau 10 năm và được bán với giá €935. Tìm lợi suất đáo hạn YTM theo phần trăm.

F = €1 000coupon = 7%n = 10P = €935

YTM = %

7.CAPM và WACCTrung bình

Một công ty được tài trợ bằng cổ phiếu phổ thông trị giá €10 000 000, cổ phiếu ưu đãi trị giá €500 000 và nợ trị giá €5 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 14%, chi phí cổ phiếu ưu đãi 6% và chi phí nợ trước thuế 6%. Thuế suất là 25,8%. Tìm WACC.

E = €10 000 000P_s = €500 000D = €5 000 000r_e = 14%r_p = 6%r_d = 6%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM và WACCKhó

Một công ty có 5 000 000 cổ phiếu giá €56,00 mỗi cổ phiếu và 10 000 trái phiếu giao dịch ở €1 020 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 5% và thuế suất là 20%. Beta của cổ phiếu là 1,5, lãi suất phi rủi ro 2% và lợi suất thị trường 7,5%. Tìm WACC.

β = 1,5r_f = 2%r_m = 7,5%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

9.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 29, 37, 53, 43, 22, 25, 44.

n = 7

s =

10.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 70 và độ lệch chuẩn 20. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 46 là bao nhiêu?

μ = 70σ = 20x = 46

P =

11.Xác suấtTrung bình

Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,3, 0,15, 0,15, 0,35

σ =

12.Xác suấtKhó

Một trò chơi tốn €1 mỗi lượt. Bạn thắng €2 với xác suất 0,1 và €20 với xác suất 0,05; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.

tiền cược = €1€2: p = 0,1€20: p = 0,05

E(G) = €

13.Phân phối chuẩnTrung bình

Khối lượng của bao xi măng là độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 kg và độ lệch chuẩn 0,5 kg. Tìm xác suất P để tổng khối lượng của 8 trong số đó vượt quá 198,6 kg. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 8> 198,6 kg

P =

14.Phân phối chuẩnKhó

Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,03 mm và độ lệch chuẩn 0,01 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

lỗ: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

15.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 16 phần tử có trung bình 34 và độ lệch chuẩn s = 16. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.

n = 16x̄ = 34s = 1690%t(15) = 1,753

giới hạn dưới =

16.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 25. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 3?

σ = 25E = 399%

n =

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 16 sinh viên có điểm trung bình 123,6 và độ lệch chuẩn mẫu 12. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 123,6s = 12n = 16

t =

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một mẫu 64 phép đo có trung bình 103,4. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 15. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.

x̄ = 103,4σ = 15n = 6490%

L =

19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 5Σx = 95Σy = 277Σx² = 1845Σy² = 16399Σxy = 5465

r =

20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 9.

n = 5x = 9

ŷ =

3Dung dịch

1.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: PV = 7273 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất và số kỳ

i = 0,04/4 = 0,01

N = 4·8 = 32

Giá trị hiện tại

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1,375 = €7 273,04

Đáp số

PV = €7 273,04

2.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: N = 57 lần thanh toán

Biến đổi công thức niên kim

i = 0,002

(1 + i)^−N = 1 − 8 000·0,002/150 = 0,8933

Giải bằng logarit

N = −ln(0,8933)/ln(1,002) = 56,45

Làm tròn lên thành số lần thanh toán nguyên

56 khoản thanh toán đầy đủ còn để lại một khoản dư nhỏ, được xóa bằng khoản thanh toán cuối cùng nhỏ hơn.

N = 57

Đáp số

N = 57 lần thanh toán

3.NPV và IRR

Đáp số: NPV = 27537 €

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Giá trị hiện tại của từng dòng tiền

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 37 000/1,05 = 35 238,10

CF₂/(1 + 0,05)² = 21 000/1,103 = 19 047,62

CF₃/(1 + 0,05)³ = 33 000/1,158 = 28 506,64

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 24 000/1,216 = 19 744,86

Cộng lại

NPV = €27 537,21

Đáp số

NPV = €27 537,21

NPV dương, nên dự án sinh lời nhiều hơn mức yêu cầu.

4.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 10,41 %

Kẹp IRR

NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.

NPV(10%) = 206,61

NPV(15%) = −2 211,72

Thu hẹp dần

Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.

IRR ≈ 10 + 5·206,61/(206,61 − (−2 211,72)) = 10,43%

chính xác: NPV(10,41%) = 0 → IRR = 10,41%

Đáp số

IRR = 10,41%

5.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: P = 977,2 €

Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.

Mỗi kỳ

C = €15,00, i = 0,0175, N = 10

Giá trị hiện tại của các khoản coupon

€15,00·(1 − 0,8407)/0,0175 = €136,52

Giá trị hiện tại của mệnh giá

€1 000·0,8407 = €840,73

Giá

P = €977,25

Đáp số

P = €977,25

Lợi suất cao hơn lãi suất coupon, nên trái phiếu được bán với giá chiết khấu.

6.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: YTM = 7,967 %

Phương trình cho lợi suất

€935 = €70·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Giải bằng số

P(7%) = €1 000,00, P(8%) = €932,90

YTM = 7,967%

Đáp số

YTM = 7,967%

7.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 10,66 %

Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).

Trọng số

V = 10 000 000 + 500 000 + 5 000 000 = €15 500 000

E/V = 0,6452, P_s/V = 0,03226, D/V = 0,3226

WACC

WACC = 0,6452·14% + 0,03226·6% + 0,3226·6%·(1 − 0,258) = 10,66%

Đáp số

WACC = 10,66%

8.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 10,03 %

Giá trị thị trường

E = 5 000 000·€56,00 = €280 000 000

D = 10 000·€1 020 = €10 200 000

Chi phí vốn chủ sở hữu (CAPM)

r_e = 2% + 1,5·5,5% = 10,25%

Trọng số

V = €290 200 000, E/V = 0,9649, D/V = 0,03515

WACC

WACC = 0,9649·10,25% + 0,03515·5%·(1 − 0,2) = 10,03%

Đáp số

WACC = 10,03%

9.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 11,32

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 253/7 = 36,14

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−7,143)² + 0,8571² + 16,86² + 6,857² + (−14,14)² + (−11,14)² + 7,857² = 768,9

Độ lệch chuẩn

s = √(768,9/6) = 11,32

Đáp số

s = 11,32

10.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,8849

Chuẩn hóa

z = −1,2

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Đáp số

P = 0,8849

11.Xác suất

Đáp số: σ = 1,359

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 0·0,05 + 1·0,3 + 2·0,15 + 3·0,15 + 4·0,35 = 2,45

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 0·0,05 + 1·0,3 + 4·0,15 + 9·0,15 + 16·0,35 = 7,85

Phương sai

Var(X) = 7,85 − 2,45² = 1,848

σ = √1,848 = 1,359

Đáp số

σ = 1,359

12.Xác suất

Đáp số: E(G) = 0,2 €

Các kết quả ròng

G: 1 (p = 0,1), 19 (p = 0,05), −1 (p = 0,85)

Giá trị kỳ vọng

E(G) = 1·0,1 + 19·0,05 − 1·0,85 = 0,2 €

Đáp số

E(G) = 0,2 €

Giá trị dương nghĩa là trung bình bạn thắng tiền.

13.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,8389

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ_T = 200 kg, σ_T = 0,5·√8 = 1,414 kg

Chuẩn hóa

z = (198,6 − 200)/1,414 = −0,99

Xác suất

P = 1 − Φ(−0,99) = 0,8389

Đáp số

P = 0,8389

14.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,9099

Phân bố của hiệu

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02236 mm

Chuẩn hóa

z = (0 − 0,03)/0,02236 = −1,34

Xác suất

P = 1 − Φ(−1,34) = 0,9099

Đáp số

P = 0,9099

15.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn dưới = 26,99

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 15, t = 1,753

Sai số biên

E = 1,753·16/√16 = 7,012

Khoảng

34 ± 7,012 → [26,99, 41,01]

Đáp số

giới hạn dưới = 26,99

16.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 461

Giải tìm n

n = (2,576·25/3)² = 460,8

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 461

Đáp số

n = 461

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = 1,2

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

Thống kê kiểm định

t = (123,6 − 120)/3 = 1,2

Đáp số

t = 1,2

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: L = 100,3

Sai số biên

E = 1,645·15/√64 = 3,084

Giới hạn của khoảng

L = 103,4 − 3,084 = 100,3

Đáp số

L = 100,3

19.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9842

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

S_xy = 5465 − 95·277/5 = 202

S_xx = 1845 − 95²/5 = 40

S_yy = 16399 − 277²/5 = 1053

Hệ số tương quan

r = 202/√(40·1053) = 0,9842

Đáp số

r = 0,9842

20.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: ŷ = 88,95

Các giá trị trung bình

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 354/5 = 70,8

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 242

Đường hồi quy

b = 242/40 = 6,05

a = 70,8 − 6,05·6 = 34,5

ŷ = 34,5 + 6,05·x

Dự đoán

ŷ = 34,5 + 6,05·9 = 88,95

Đáp số

ŷ = 88,95

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income