Bạn cần €10 000 sau 3 năm. Một tài khoản trả lãi 2% mỗi năm, ghép lãi hằng quý. Hôm nay bạn phải gửi bao nhiêu? Tìm giá trị hiện tại PV.
FV = €10 0002% / 4n = 3
PV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Một khoản vay thế chấp €300 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 25 năm với lãi suất 7,2% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Ngay sau khoản thanh toán cuối năm 4 còn nợ bao nhiêu? Tìm số dư nợ B.
P = €300 0007,2% / 12N = 300k = 48
B = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một chiếc máy tốn €80 000 hôm nay. Nó tạo ra €13 000 vào cuối mỗi năm trong 8 năm và sau đó có thể bán với giá €12 000. Chi phí vốn là 10%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
C0 = €80 000CF = €13 000S = €12 000n = 8r = 10%
NPV = €
4.NPV và IRRKhó
Một dự án tốn €150 000 hôm nay. Dòng tiền của nó là €19 000 vào cuối năm thứ 1 và tăng 2% mỗi năm cho đến dòng tiền cuối cùng vào cuối năm 8. Chi phí vốn là 8%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
C0 = €150 000CF1 = €19 000g = 2%n = 8r = 8%
NPV = €
5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 đáo hạn sau 10 năm và trả trái tức hằng năm. Nó được bán với giá €1 306 khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 2,5%. Tìm lãi suất trái tức c theo phần trăm.
F = €1 000n = 10P = €1 306YTM = 2,5%
c = %
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu giao dịch ở mức giá €925 với lợi suất đến ngày đáo hạn 7% (ghép lãi hằng năm) và thời lượng Macaulay 7,1 năm. Dùng thời lượng điều chỉnh để ước lượng giá mới P nếu lợi suất tăng 150 điểm cơ bản.
P0 = €925y = 7%D = 7,1Δy = +150 bp
P = €
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €6 000 000 và nợ trị giá €6 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 13%, chi phí nợ trước thuế là 4,5% và thuế suất là 30%. Tìm WACC.
Một công ty có 5 000 000 cổ phiếu giá €34,00 mỗi cổ phiếu và 20 000 trái phiếu giao dịch ở €980 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 5% và thuế suất là 25%. Beta của cổ phiếu là 0,9, lãi suất phi rủi ro 2% và lợi suất thị trường 9%. Tìm WACC.
β = 0,9rf = 2%rm = 9%rd = 5%T = 25%
WACC = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 19, 28, 43, 10, 33, 26, 60.
n = 7
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 500 và độ lệch chuẩn 60. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 452 là bao nhiêu?
μ = 500σ = 60x = 452
P =
11.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,15, 0,15, 0,35, 0,3
σ =
12.Xác suấtKhó
X có phân bố như hiển thị, và Y = 3X + 1. Tìm độ lệch chuẩn σY của Y.
X có phân bố chuẩn với trung bình 12 min và độ lệch chuẩn 1,5 min; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 20 min và độ lệch chuẩn 2 min. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 30,8 min. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 30,8 min
P =
14.Phân phối chuẩnKhó
Khối lượng X của một sản phẩm từ dây chuyền 1 và Y từ dây chuyền 2 là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 500 g và độ lệch chuẩn 8 g, Y có trung bình 490 g và độ lệch chuẩn 6 g. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 13 phần tử có trung bình 34,5 và độ lệch chuẩn s = 6. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
n = 13x̄ = 34,5s = 690%t(12) = 1,782
giới hạn dưới =
16.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 20. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 0,5?
σ = 20E = 0,590%
n =
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 64 sinh viên có điểm trung bình 50,75 và độ lệch chuẩn mẫu 5. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 50,75s = 5n = 64
t =
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Trong một thử nghiệm, 68 trong 150 bệnh nhân dùng phương pháp điều trị A hồi phục, và 120 trong 200 bệnh nhân dùng phương pháp B. Dùng tỉ lệ gộp, tìm thống kê kiểm định z cho H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 68n₁ = 150x₂ = 120n₂ = 200
z =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 3,5.
n = 6x = 3,5
ŷ =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: PV = 9419 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Lãi suất và số kỳ
i = 0,02/4 = 0,005
N = 4·3 = 12
Giá trị hiện tại
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,062 = €9 419,05
Đáp số
PV = €9 419,05
2.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: B = 280112 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Số còn nợ phải được trả hết đúng bằng các khoản thanh toán còn lại.
N − k = 300 − 48 = 252
B = 2159·(1 − (1 + 0,006)−252)/0,006 = €280 111,80
Đáp số
B = €280 111,80
3.NPV và IRR
Đáp số: NPV = −5048 €
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị hiện tại của các dòng tiền hằng năm
13 000·5,335 = 69 354,04
Giá trị hiện tại của giá trị thanh lý
12 000/2,144 = 5 598,09
NPV
NPV = −80 000 + 69 354,04 + 5 598,09 = −€5 047,87
Đáp số
NPV = −€5 047,87
4.NPV và IRR
Đáp số: NPV = −33787 €
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Giá trị hiện tại của mệnh giá
1000·(1 + 0,025)−10 = €781,20
Trái tức
C = (1306 − 781,20)/8,752 = €59,96
Lãi suất coupon
c = 59,96/1000 = 5,996%
Đáp số
c = 5,996%
6.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: P = 832,9 €
Thời lượng (duration): thời lượng Macaulay là thời gian trung bình có trọng số mà trái phiếu trả các dòng tiền của nó, với trọng số là giá trị hiện tại của các dòng tiền: D = Σ t·PVₜ/P. Thời lượng điều chỉnh D/(1 + y) ước lượng phần trăm thay đổi giá khi lợi suất thay đổi nhỏ: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Thời lượng điều chỉnh
Dmod = 7,1/1,07 = 6,636
Thay đổi giá ước lượng
%ΔP ≈ −6,636·(0,015) = −9,953%
P ≈ 925·(1 − 0,09953) = €832,93
Đáp số
P = €832,93
Thời lượng là một ước lượng tuyến tính; với thay đổi lợi suất lớn, độ lồi làm giá thực cao hơn một chút.
7.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 8,075 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Trọng số
V = €12 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·13% + 0,5·4,5%·(1 − 0,3) = 8,075%
Đáp số
WACC = 8,075%
8.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 7,83 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Giá trị thị trường
E = 5 000 000·€34,00 = €170 000 000
D = 20 000·€980 = €19 600 000
Chi phí vốn chủ sở hữu (CAPM)
re = 2% + 0,9·7% = 8,3%
Trọng số
V = €189 600 000, E/V = 0,8966, D/V = 0,1034
WACC
WACC = 0,8966·8,3% + 0,1034·5%·(1 − 0,25) = 7,83%
Đáp số
WACC = 7,83%
9.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 16,37
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = −0,8
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881
Đáp số
P = 0,7881
11.Xác suất
Đáp số: σ = 1,187
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Độ phân tán của X
μ = 27,5, Var(X) = 128,8, σX = 11,35
Phép biến đổi tuyến tính
σY = |3|·11,35 = 34,04
Đáp số
σY = 34,04
Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 3·27,5 + 1 = 83,5.
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,6844
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Chuẩn hóa
z = (30,8 − 32)/2,5 = −0,48
Đuôi trên
P = 1 − Φ(−0,48) = 1 − 0,3156 = 0,6844
Đáp số
P = 0,6844
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,8413
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Chuẩn hóa
z = (0 − 10)/10 = −1
Xác suất
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Đáp số
P = 0,8413
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn dưới = 31,53
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 12, t = 1,782
Sai số biên
E = 1,782·6/√13 = 2,965
Khoảng
34,5 ± 2,965 → [31,53, 37,47]
Đáp số
giới hạn dưới = 31,53
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 4330
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (1,645·20/0,5)² = 4330
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 4330
Đáp số
n = 4330
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = 1,2
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 5/√64 = 5/8 = 0,625
Thống kê kiểm định
t = (50,75 − 50)/0,625 = 1,2
Đáp số
t = 1,2
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: z = −2,723
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Các tỉ lệ mẫu
p̂₁ = 68/150 = 0,4533
p̂₂ = 120/200 = 0,6
p̂ = 188/350 = 0,5371
Sai số chuẩn theo H₀
SE = √(0,5371·0,4629·(1/150 + 1/200)) = 0,05386
Thống kê kiểm định
z = (0,4533 − 0,6)/0,05386 = −2,723
Đáp số
z = −2,723
|z| > 1,96, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9968
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 15813 − 129·690/6 = 978
Sxx = 2931 − 129²/6 = 157,5
Syy = 85462 − 690²/6 = 6112
Hệ số tương quan
r = 978/√(157,5·6112) = 0,9968
Đáp số
r = 0,9968
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: ŷ = 15,33
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 92/6 = 15,33
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −48
Đường hồi quy
b = −48/17,5 = −2,743
a = 15,33 − (−2,743)·3,5 = 24,93
ŷ = 24,93 − 2,743·x
Dự đoán
ŷ = 24,93 + (−2,743)·3,5 = 15,33
Đáp số
ŷ = 15,33
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.