Một bất động sản dự kiến thu được tiền thuê ròng €10 000 vào năm tới. Tiền thuê dự kiến tăng 1,5% mỗi năm mãi mãi. Tỉ suất sinh lợi yêu cầu là 3,5% mỗi năm. Tìm giá trị PV của bất động sản hôm nay.
C1 = €10 000g = 1,5%r = 3,5%
PV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Một khoản vay €200 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 15 năm với lãi suất 3,6% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tổng tiền lãi I phải trả trong suốt thời hạn khoản vay là bao nhiêu?
P = €200 0003,6% / 12N = 180
I = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một khoản đầu tư €20 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 3: €10 000, €4 000, €6 000. Chi phí vốn là 9%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
Dự án A tốn €40 000 và mang về €23 000, €16 000, €9 500 vào cuối các năm từ 1 đến 3. Dự án B tốn €50 000 và mang về €14 000, €21 000, €25 500. Tìm tỉ suất giao nhau r* mà tại đó hai dự án có cùng NPV, theo phần trăm.
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả trái tức hằng năm 2% và đáo hạn sau 4 năm. Lợi suất đến ngày đáo hạn của nó thay đổi từ 4% thành 2,5%. Giá trái phiếu thay đổi bao nhiêu ΔP?
F = €1 000coupon = 2%n = 4y1 = 4%y2 = 2,5%
ΔP = €
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu còn 14 năm đến ngày đáo hạn (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 9%) được bán với giá €1 127. Tổ chức phát hành có thể mua lại nó sau 6 năm với giá mua lại €1 090. Tìm lợi suất đến ngày mua lại YTC theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 9%P = €1 127giá mua lại = €1 090mua lại sau 6 năm
YTC = %
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty có tỉ lệ nợ trên vốn chủ sở hữu (theo giá trị thị trường) là 0,75. Chi phí vốn chủ sở hữu của nó là 10%, chi phí nợ trước thuế là 4,5% và thuế suất là 25%. Tìm WACC.
D/E = 0,75re = 10%rd = 4,5%T = 25%
WACC = %
8.CAPM và WACCKhó
Một công ty có 2 000 000 cổ phiếu giá €44,00 mỗi cổ phiếu và 20 000 trái phiếu giao dịch ở €980 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 5% và thuế suất là 28%. Beta của cổ phiếu là 0,9, lãi suất phi rủi ro 2% và lợi suất thị trường 6,5%. Tìm WACC.
β = 0,9rf = 2%rm = 6,5%rd = 5%T = 28%
WACC = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 33, 24, 46, 26, 32.
n = 5
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 50 và độ lệch chuẩn 15. Tìm điểm z z của điểm số 72,5.
μ = 50σ = 15x = 72,5
z =
11.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,2, 0,15, 0,3
Var(X) =
12.Xác suấtKhó
Một bài kiểm tra có 6 câu trắc nghiệm. Một học sinh đoán mò được mỗi câu đúng với xác suất 0,2, độc lập với nhau. Xác suất P để có đúng 3 câu trả lời đúng là bao nhiêu?
n = 6p = 0,2k = 3
P =
13.Phân phối chuẩnTrung bình
Kéo z sao cho diện tích tô bóng dưới đường cong chuẩn tắc, bên phải z, bằng 0,0618. Tìm z với hai chữ số thập phân.
A = 0,0618
z =
14.Phân phối chuẩnKhó
thời gian giao hàng có phân phối chuẩn với trung bình 32 min và độ lệch chuẩn 6 min. Tìm giá trị x mà 5% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 5).
μ = 32σ = 6P = 5%
x = min
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 21 phần tử có trung bình 48 và độ lệch chuẩn s = 5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.
n = 21x̄ = 48s = 599%t(20) = 2,845
giới hạn trên =
16.Khoảng tin cậyKhó
Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 10 ô, năng suất trung bình 56,5 kg, độ lệch chuẩn 5,5 kg. Nhóm ô 2: 6 ô, trung bình 49 kg, độ lệch chuẩn 10 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 95% cho μ₁ − μ₂.
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 81 sinh viên có điểm trung bình 72,11 và độ lệch chuẩn mẫu 10. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 72,11s = 10n = 81
t =
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Trong một thử nghiệm, 105 trong 300 bệnh nhân dùng phương pháp điều trị A hồi phục, và 112 trong 250 bệnh nhân dùng phương pháp B. Dùng tỉ lệ gộp, tìm thống kê kiểm định z cho H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 105n₁ = 300x₂ = 112n₂ = 250
z =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.
n = 6
r² =
20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 48?
n = 6ŷ = 48
x =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: PV = 500000 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị hiện tại của từng dòng tiền
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 10 000/1,09 = 9 174,31
CF2/(1 + 0,09)2 = 4 000/1,188 = 3 366,72
CF3/(1 + 0,09)3 = 6 000/1,295 = 4 633,10
Cộng lại
NPV = €−2 825,87
Đáp số
NPV = €−2 825,87
NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.
4.NPV và IRR
Đáp số: r* = 4,468 %
Tỉ suất giao nhau: tỉ suất chiết khấu mà tại đó hai dự án có cùng NPV. Nó là IRR của hiệu các dòng tiền của chúng (B − A). Dưới mức này, dự án có dòng tiền lớn hơn đến muộn hơn có NPV cao hơn; trên mức này, dự án kia thắng.
Hiệu các dòng tiền
ΔCF0 = −50 000 − (−40 000) = −10 000
ΔCF1 = 14 000 − 23 000 = −9 000
ΔCF2 = 21 000 − 16 000 = 5 000
ΔCF3 = 25 500 − 9 500 = 16 000
IRR của hiệu
NPVΔ(4%) = 192,88
NPVΔ(5%) = −214,88
r* = 4,468%
Đáp số
r* = 4,468%
Kiểm tra: tại 4,468% cả hai NPV đều là €5 009,42.
5.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: ΔP = 53,79 €
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Phương trình cho lợi suất
1127 = 90·(1 − (1 + y)−6)/y + 1090/(1 + y)6
Giải bằng số
y = 7%: €1 155,30
y = 8%: €1 102,94
YTC = 7,533%
Đáp số
YTC = 7,533%
Lợi suất đến ngày đáo hạn là 7,504%. Nhà đầu tư vào trái phiếu giá cao hơn mệnh giá kỳ vọng nó sẽ bị mua lại, nên lợi suất đến ngày mua lại thấp hơn là con số thực tế hơn.
7.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 7,161 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (72,5 − 50)/15 = 1,5
Đáp số
z = 1,5
11.Xác suất
Đáp số: Var(X) = 1,54
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 0·0,35 + 1·0,2 + 2·0,15 + 3·0,3 = 1,4
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,2 + 4·0,15 + 9·0,3 = 3,5
Phương sai
Var(X) = 3,5 − 1,4² = 1,54
Đáp số
Var(X) = 1,54
12.Xác suất
Đáp số: P = 0,08192
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.
Diện tích bên trái z
Φ(z) = 1 − 0,0618 = 0,9382
Đọc bảng z theo chiều ngược lại
Tìm 0,9382 bên trong bảng và đọc ra z.
z = 1,54
Đáp số
z = 1,54
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 22,13 min
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
z của phân vị
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Quay lại x
x = 32 + −1,645·6 = 22,13 min
Đáp số
x = 22,13 min
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn trên = 51,1
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 20, t = 2,845
Sai số biên
E = 2,845·5/√21 = 3,104
Khoảng
48 ± 3,104 → [44,9, 51,1]
Đáp số
giới hạn trên = 51,1
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 8,227 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Độ lệch chuẩn gộp
sp² = (9·5,5² + 5·10²)/14 = 55,16
sp = 7,427
Sai số biên
E = 2,145·7,427·√(1/10 + 1/6) = 8,227
Đáp số
E = 8,227 kg
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = −2,601
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111
Thống kê kiểm định
t = (72,11 − 75)/1,111 = −2,601
Đáp số
t = −2,601
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: z = −2,341
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Các tỉ lệ mẫu
p̂₁ = 105/300 = 0,35
p̂₂ = 112/250 = 0,448
p̂ = 217/550 = 0,3945
Sai số chuẩn theo H₀
SE = √(0,3945·0,6055·(1/300 + 1/250)) = 0,04185
Thống kê kiểm định
z = (0,35 − 0,448)/0,04185 = −2,341
Đáp số
z = −2,341
|z| > 1,96, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r² = 0,8755
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 232/6 = 38,67
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 53
Syy = Σ(y − ȳ)² = 183,3
Hệ số xác định
r² = 53²/(17,5·183,3) = 0,8755
Đáp số
r² = 0,8755
Khoảng 87,55% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: x = 6,444
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 229/6 = 38,17
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 88,5
Đường hồi quy
b = 88,5/17,5 = 5,057
a = 38,17 − 5,057·4,5 = 15,41
ŷ = 15,41 + 5,057·x
Giải tìm x
x = (48 − 15,41)/5,057 = 6,444
Đáp số
x = 6,444
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.