Một bất động sản dự kiến thu được tiền thuê ròng €12 000 vào năm tới. Tiền thuê dự kiến tăng 2,5% mỗi năm mãi mãi. Tỉ suất sinh lợi yêu cầu là 7,5% mỗi năm. Tìm giá trị PV của bất động sản hôm nay.
C1 = €12 000g = 2,5%r = 7,5%
PV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Bạn vay €5 000 với lãi suất 6% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng, và trả €100 vào cuối mỗi tháng. Cần bao nhiêu tháng để trả hết khoản vay (khoản thanh toán cuối có thể nhỏ hơn)? Cho số lần thanh toán N.
P = €5 000A = €1006% / 12
N = lần thanh toán
3.NPV và IRRTrung bình
Một khoản đầu tư €75 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 3: €18 000, €25 000, €28 000. Chi phí vốn là 7,000000000000001%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
Một dự án tốn €200 000 hôm nay. Dòng tiền của nó là €60 000 vào cuối năm thứ 1 và tăng 2% mỗi năm cho đến dòng tiền cuối cùng vào cuối năm 4. Chi phí vốn là 8%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
C0 = €200 000CF1 = €60 000g = 2%n = 4r = 8%
NPV = €
5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình
Bạn mua một trái phiếu còn 8 năm đến ngày đáo hạn (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 6%) khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 5,5%. Một năm sau, ngay sau khi nhận trái tức đầu tiên, bạn bán nó khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 6%. Tìm tỉ suất sinh lợi trong thời gian nắm giữ HPR theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 6%n = 8y0 = 5,5%y1 = 6%
HPR = %
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 và coupon hằng năm 6% đáo hạn sau 4 năm và được bán với giá €950. Tìm lợi suất đáo hạn YTM theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 6%n = 4P = €950
YTM = %
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty được tài trợ bằng cổ phiếu phổ thông trị giá €5 000 000, cổ phiếu ưu đãi trị giá €2 000 000 và nợ trị giá €2 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 14%, chi phí cổ phiếu ưu đãi 6,5% và chi phí nợ trước thuế 5%. Thuế suất là 28%. Tìm WACC.
Một công ty có 1 000 000 cổ phiếu giá €19,00 mỗi cổ phiếu và 40 000 trái phiếu giao dịch ở €1 020 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 6% và thuế suất là 28%. Beta của cổ phiếu là 1,1, lãi suất phi rủi ro 1,5% và lợi suất thị trường 7%. Tìm WACC.
β = 1,1rf = 1,5%rm = 7%rd = 6%T = 28%
WACC = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 26, 53, 45, 33, 34, 30.
n = 6
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 100 và độ lệch chuẩn 20. Tìm điểm z z của điểm số 140.
μ = 100σ = 20x = 140
z =
11.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,35, 0,15, 0,3, 0,1
σ =
12.Xác suấtKhó
X có phân bố như hiển thị, và Y = −2X + 5. Tìm độ lệch chuẩn σY của Y.
Kéo z sao cho diện tích tô bóng giữa −z và z dưới đường cong chuẩn tắc bằng 0,4381. Tìm z với hai chữ số thập phân.
A = 0,4381
z =
14.Phân phối chuẩnKhó
điểm IQ tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Kéo ngưỡng sao cho 75% thấp nhất được tô bóng nằm bên trái nó. Tìm ngưỡng x.
μ = 100 điểmσ = 15 điểm75%
x = điểm
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 25 phần tử có trung bình 68 và độ lệch chuẩn s = 4,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.
n = 25x̄ = 68s = 4,599%t(24) = 2,797
giới hạn dưới =
16.Khoảng tin cậyKhó
Đường kính của 25 trục gia công có độ lệch chuẩn mẫu 8,1 µm. Giả sử các đường kính tuân theo phân phối chuẩn, hãy tìm σ giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho độ lệch chuẩn tổng thể. Với df = 24, 2,5% của phân phối χ² nằm dưới 12,401 và 2,5% nằm trên 39,364.
n = 25s = 8,1 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 64 sinh viên có điểm trung bình 72,38 và độ lệch chuẩn mẫu 15. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 72,38s = 15n = 64
t =
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Trong một thử nghiệm, 68 trong 150 bệnh nhân dùng phương pháp điều trị A hồi phục, và 35 trong 100 bệnh nhân dùng phương pháp B. Dùng tỉ lệ gộp, tìm thống kê kiểm định z cho H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 68n₁ = 150x₂ = 35n₂ = 100
z =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 82?
n = 6ŷ = 82
x =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: PV = 240000 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Biến đổi công thức niên kim
i = 0,005
(1 + i)−N = 1 − 5 000·0,005/100 = 0,75
Giải bằng logarit
N = −ln(0,75)/ln(1,005) = 57,68
Làm tròn lên thành số lần thanh toán nguyên
57 khoản thanh toán đầy đủ còn để lại một khoản dư nhỏ, được xóa bằng khoản thanh toán cuối cùng nhỏ hơn.
N = 58
Đáp số
N = 58 lần thanh toán
3.NPV và IRR
Đáp số: NPV = −13485 €
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị hiện tại của từng dòng tiền
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 18 000/1,07 = 16 822,43
CF2/(1 + 0,07)2 = 25 000/1,145 = 21 835,97
CF3/(1 + 0,07)3 = 28 000/1,225 = 22 856,34
Cộng lại
NPV = €−13 485,26
Đáp số
NPV = €−13 485,26
NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.
4.NPV và IRR
Đáp số: NPV = 4380 €
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
NPV dương, nên dự án sinh lời nhiều hơn mức yêu cầu.
5.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: HPR = 2,746 %
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Phương trình cho lợi suất
€950 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Giải bằng số
P(7%) = €966,13, P(8%) = €933,76
YTM = 7,493%
Đáp số
YTM = 7,493%
7.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 10,02 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (140 − 100)/20 = 2
Đáp số
z = 2
11.Xác suất
Đáp số: σ = 1,203
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Độ phân tán của X
μ = 1,7, Var(X) = 1,51, σX = 1,229
Phép biến đổi tuyến tính
σY = |−2|·1,229 = 2,458
Đáp số
σY = 2,458
Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = −2·1,7 + 5 = 1,6.
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: z = 0,58
Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.
Diện tích bên trái z
Φ(z) = (1 + 0,4381)/2 = 0,7190
Đọc bảng z theo chiều ngược lại
Tìm 0,7190 bên trong bảng và đọc ra z.
z = 0,58
Đáp số
z = 0,58
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 110,1 điểm
Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.
Diện tích bên trái
Φ(z) = 0,75
z từ bảng
z ≈ 0,67
Trở lại đơn vị ban đầu
x = 100 + 0,67·15 = 110,1 điểm
Đáp số
x = 110,1 điểm
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn dưới = 65,48
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 24, t = 2,797
Sai số biên
E = 2,797·4,5/√25 = 2,517
Khoảng
68 ± 2,517 → [65,48, 70,52]
Đáp số
giới hạn dưới = 65,48
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: σ = 11,27 µm
Khoảng cho một phương sai: (n − 1)s²/σ² có phân phối χ² với n − 1 bậc tự do. Khoảng 95% cho σ² chạy từ (n − 1)s² chia cho giá trị χ² trên (2,5% nằm trên nó) đến (n − 1)s² chia cho giá trị χ² dưới (2,5% nằm dưới nó); khoảng cho σ là căn bậc hai của cả hai giới hạn. Nó không đối xứng quanh s.
Tổng bình phương
(n − 1)s² = 24·8,1² = 1575
Các giới hạn cho σ²
1575/39,364 = 40
1575/12,401 = 127
Giới hạn cho σ
σ = √127 = 11,27 µm
Đáp số
σ = 11,27 µm
Khoảng 95% cho σ: [6,325, 11,27] µm.
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = −1,397
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875
Thống kê kiểm định
t = (72,38 − 75)/1,875 = −1,397
Đáp số
t = −1,397
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: z = 1,626
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Các tỉ lệ mẫu
p̂₁ = 68/150 = 0,4533
p̂₂ = 35/100 = 0,35
p̂ = 103/250 = 0,412
Sai số chuẩn theo H₀
SE = √(0,412·0,588·(1/150 + 1/100)) = 0,06354
Thống kê kiểm định
z = (0,4533 − 0,35)/0,06354 = 1,626
Đáp số
z = 1,626
|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9902
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 1960 − 33·346/6 = 57
Sxx = 199 − 33²/6 = 17,5
Syy = 20142 − 346²/6 = 189,3
Hệ số tương quan
r = 57/√(17,5·189,3) = 0,9902
Đáp số
r = 0,9902
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: x = 24,9
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 138/6 = 23
ȳ = 445/6 = 74,17
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 289
Đường hồi quy
b = 289/70 = 4,129
a = 74,17 − 4,129·23 = −20,79
ŷ = −20,79 + 4,129·x
Giải tìm x
x = (82 − (−20,79))/4,129 = 24,9
Đáp số
x = 24,9
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.