Bạn cần €5 000 sau 5 năm. Một tài khoản trả lãi 3% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Hôm nay bạn phải gửi bao nhiêu? Tìm giá trị hiện tại PV.
FV = €5 0003% / 12n = 5
PV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Một khoản vay €250 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 20 năm. Lãi suất là 7,2% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm khoản thanh toán hằng tháng A.
P = €250 0007,2% / 12N = 240
A = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một khoản đầu tư €60 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 3: €17 000, €30 000, €22 000. Chi phí vốn là 6%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
Một khoản đầu tư €20 000 mang về €4 000 vào cuối mỗi năm trong 10 năm. Tìm tỉ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.
C0 = €20 000CF = €4 000n = 10
IRR = %
5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả coupon hằng năm 6% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 11 năm. Lợi suất đáo hạn là 5% mỗi năm. Tìm giá P của trái phiếu.
F = €1 000coupon = 6%YTM = 5%n = 11
P = €
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả trái tức hằng năm 2% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 3 năm. Nó được bán với giá €892. Tìm lợi suất đến ngày đáo hạn YTM theo lãi suất hằng năm (gấp đôi lợi suất nửa năm), theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 2% (2×)n = 3P = €892
YTM = %
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €2 000 000 và nợ trị giá €6 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 12%, chi phí nợ trước thuế là 3% và thuế suất là 28%. Tìm WACC.
Một công ty có 1 000 000 cổ phiếu giao dịch ở mức giá €43,50; giá trị sổ sách của vốn chủ sở hữu là €26 100 000. Công ty vừa trả cổ tức €1,70 mỗi cổ phiếu, và cổ tức tăng 4% mỗi năm. Nợ của công ty có giá trị thị trường €43 500 000 và chi phí trước thuế 5%. Thuế suất là 30%. Tìm WACC, dùng mô hình tăng trưởng cổ tức cho chi phí vốn chủ sở hữu.
N = 1 000 000P0 = €43,50vốn chủ sở hữu theo sổ sách = €26 100 000D0 = €1,70g = 4%D = €43 500 000rd = 5%T = 30%
WACC = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 24, 11, 37, 10, 22, 60.
n = 6
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 100 và độ lệch chuẩn 5. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 94 là bao nhiêu?
μ = 100σ = 5x = 94
P =
11.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,25, 0,35, 0,05
σ =
12.Xác suấtKhó
Một trò chơi tốn €1 mỗi lượt. Bạn thắng €4 với xác suất 0,15 và €10 với xác suất 0,05; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.
tiền cược = €1€4: p = 0,15€10: p = 0,05
E(G) = €
13.Phân phối chuẩnTrung bình
X có phân bố chuẩn với trung bình 12 min và độ lệch chuẩn 1,5 min; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 20 min và độ lệch chuẩn 2 min. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 34,5 min. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 34,5 min
P =
14.Phân phối chuẩnKhó
điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tìm giá trị x mà 90% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 90).
μ = 100σ = 15P = 90%
x = điểm
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 12 phần tử có trung bình 54 và độ lệch chuẩn s = 12. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
n = 12x̄ = 54s = 1290%t(11) = 1,796
giới hạn trên =
16.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 20. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 1,5?
σ = 20E = 1,595%
n =
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 36 sinh viên có điểm trung bình 73,17 và độ lệch chuẩn mẫu 5. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 73,17s = 5n = 36
t =
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một mẫu 81 phép đo có trung bình 49,3. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 20. Tìm giới hạn trên U của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.
x̄ = 49,3σ = 20n = 8195%
U =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.
n = 6
r² =
20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 91?
n = 6ŷ = 91
x =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: PV = 4304 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Lãi suất và số kỳ
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·5 = 60
Giá trị hiện tại
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,162 = €4 304,35
Đáp số
PV = €4 304,35
2.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: A = 1968 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Lãi suất tháng và số kỳ thanh toán
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·20 = 240
Khoản thanh toán
Giá trị hiện tại của N khoản thanh toán bằng nhau A là A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Cho nó bằng khoản vay và giải tìm A.
(1 + i)−N = 0,2379
A = 250 000·0,006/(1 − 0,2379) = €1 968,37
Đáp số
A = €1 968,37
3.NPV và IRR
Đáp số: NPV = 1209 €
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị hiện tại của từng dòng tiền
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 17 000/1,06 = 16 037,74
CF2/(1 + 0,06)2 = 30 000/1,124 = 26 699,89
CF3/(1 + 0,06)3 = 22 000/1,191 = 18 471,62
Cộng lại
NPV = €1 209,25
Đáp số
NPV = €1 209,25
NPV dương, nên dự án sinh lời nhiều hơn mức yêu cầu.
4.NPV và IRR
Đáp số: IRR = 15,1 %
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Hệ số niên kim cần thiết
(1 − (1 + i)−10)/i = 20 000/4 000 = 5
Giải tìm lãi suất
Hệ số niên kim giảm khi lãi suất tăng; hãy chặn khoảng giá trị của lãi suất rồi thu hẹp dần.
i = 15%: 5,019
i = 16%: 4,833
IRR = 15,1%
Đáp số
IRR = 15,1%
5.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: P = 1084 €
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Mỗi kỳ
C = €30,00, i = 0,025, N = 22
Giá trị hiện tại của các khoản coupon
€30,00·(1 − 0,5809)/0,025 = €502,96
Giá trị hiện tại của mệnh giá
€1 000·0,5809 = €580,86
Giá
P = €1 083,83
Đáp số
P = €1 083,83
Lợi suất thấp hơn lãi suất coupon, nên trái phiếu được bán với giá cao hơn mệnh giá.
6.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: YTM = 5,986 %
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Mỗi kỳ
C = €10,00, N = 6
Giải bằng số
i = 2,993% mỗi nửa năm
YTM
YTM = 2·2,993% = 5,986%
Đáp số
YTM = 5,986%
7.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 4,62 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Trọng số
V = €8 000 000, E/V = 0,25, D/V = 0,75
WACC
WACC = 0,25·12% + 0,75·3%·(1 − 0,28) = 4,62%
Đáp số
WACC = 4,62%
8.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 5,782 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Chi phí vốn chủ sở hữu
D1 = 1,7·1,04 = €1,77
re = 1,768/43,5 + 0,04 = 8,064%
Giá trị thị trường
E = 1 000 000·€43,50 = €43 500 000
V = €87 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·8,064% + 0,5·5%·(1 − 0,3) = 5,782%
Đáp số
WACC = 5,782%
9.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 18,8
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = −1,2
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 0,1151
Đáp số
P = 0,1151
11.Xác suất
Đáp số: σ = 9,434
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Các kết quả ròng
G: 3 (p = 0,15), 9 (p = 0,05), −1 (p = 0,8)
Giá trị kỳ vọng
E(G) = 3·0,15 + 9·0,05 − 1·0,8 = 0,1 €
Đáp số
E(G) = 0,1 €
Giá trị dương nghĩa là trung bình bạn thắng tiền.
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,1587
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Chuẩn hóa
z = (34,5 − 32)/2,5 = 1
Đuôi trên
P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587
Đáp số
P = 0,1587
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 119,2 điểm
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
z của phân vị
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Quay lại x
x = 100 + 1,282·15 = 119,22 điểm
Đáp số
x = 119,22 điểm
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn trên = 60,22
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 11, t = 1,796
Sai số biên
E = 1,796·12/√12 = 6,222
Khoảng
54 ± 6,222 → [47,78, 60,22]
Đáp số
giới hạn trên = 60,22
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 683
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (1,96·20/1,5)² = 683
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 683
Đáp số
n = 683
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = −2,196
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333
Thống kê kiểm định
t = (73,17 − 75)/0,8333 = −2,196
Đáp số
t = −2,196
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: U = 53,66
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số biên
E = 1,96·20/√81 = 4,356
Giới hạn của khoảng
U = 49,3 + 4,356 = 53,66
Đáp số
U = 53,66
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r² = 0,8767
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 119/6 = 19,83
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 86,83
Hệ số xác định
r² = −36,5²/(17,5·86,83) = 0,8767
Đáp số
r² = 0,8767
Khoảng 87,67% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: x = 23,33
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 138/6 = 23
ȳ = 538/6 = 89,67
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 286
Đường hồi quy
b = 286/70 = 4,086
a = 89,67 − 4,086·23 = −4,305
ŷ = −4,305 + 4,086·x
Giải tìm x
x = (91 − (−4,305))/4,086 = 23,33
Đáp số
x = 23,33
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.