Luyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Giá và lợi suất trái phiếu

Giá trái phiếu: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Nửa năm: C/2, y/2 và 2n kỳ
Lợi suất hiện hành: C/P
Giá và lợi suất: lợi suất tăng → giá giảm

Phương pháp

Tìm coupon mỗi kỳ và lợi suất mỗi kỳ.
Giá = giá trị hiện tại của các khoản coupon (một niên kim) + giá trị hiện tại của mệnh giá.
Với coupon nửa năm, dùng một nửa coupon, một nửa lợi suất và gấp đôi số kỳ.
Kiểm tra: nếu lợi suất cao hơn lãi suất coupon, giá thấp hơn mệnh giá.

CAPM và WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Giá trị doanh nghiệp: V = E + D

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn đầu tư €1 000 với lãi suất 4% mỗi năm ghép lãi liên tục. Tìm giá trị FV sau 11 năm.

PV = €1 000r = 4%t = 11

FV = €

2.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Bạn muốn có €50 000 sau 11 năm. Bạn gửi cùng một số tiền vào cuối mỗi tháng vào một tài khoản trả lãi 5,4% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm khoản tiền gửi hằng tháng A.

FV = €50 0005,4% / 12N = 132

A = €

3.NPV và IRRTrung bình

Một khoản đầu tư €60 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 3: €13 000, €19 000, €29 000. Chi phí vốn là 7,000000000000001%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −60 000CF₁ = 13 000CF₂ = 19 000CF₃ = 29 000

NPV = €

4.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €20 000 và mang lại €12 500, €14 000 vào cuối các năm 1 đến 2. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

CF₀ = −20 000CF₁ = 12 500CF₂ = 14 000

IRR = %

5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả coupon hằng năm 4% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 8 năm. Lợi suất đáo hạn là 5% mỗi năm. Tìm giá P của trái phiếu.

F = €1 000coupon = 4%YTM = 5%n = 8

P = €

6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 và coupon hằng năm 5% đáo hạn sau 6 năm và được bán với giá €950. Tìm lợi suất đáo hạn YTM theo phần trăm.

F = €1 000coupon = 5%n = 6P = €950

YTM = %

7.CAPM và WACCTrung bình

Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €6 000 000 và nợ trị giá €4 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 10%, chi phí nợ trước thuế là 4,5% và thuế suất là 25%. Tìm WACC.

E = €6 000 000D = €4 000 000r_e = 10%r_d = 4,5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM và WACCKhó

Một công ty có 5 000 000 cổ phiếu giá €45,00 mỗi cổ phiếu và 40 000 trái phiếu giao dịch ở €1 020 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 3,5% và thuế suất là 28%. Beta của cổ phiếu là 1,5, lãi suất phi rủi ro 3% và lợi suất thị trường 7%. Tìm WACC.

β = 1,5r_f = 3%r_m = 7%r_d = 3,5%T = 28%

WACC = %

9.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 54, 33, 24, 57, 53, 18.

n = 6

s =

10.Thống kê mô tảKhó

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 70 và độ lệch chuẩn 10. Tìm điểm z z của điểm số 65.

μ = 70σ = 10x = 65

z =

11.Xác suấtTrung bình

Có bao nhiêu cách N chọn một ủy ban gồm 2 người từ một nhóm 7 người? Thứ tự không quan trọng.

n = 7k = 2

N =

12.Xác suấtKhó

X có phân bố như hiển thị, và Y = 3X + 20. Tìm độ lệch chuẩn σ_Y của Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,25, 0,1, 0,35, 0,1Y = 3X + 20

σ_Y =

13.Phân phối chuẩnTrung bình

Khối lượng của hộp là độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 12 kg và độ lệch chuẩn 0,8 kg. Tìm xác suất P để tổng khối lượng của 5 trong số đó vượt quá 60,9 kg. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 5> 60,9 kg

P =

14.Phân phối chuẩnKhó

điểm thi tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 65 điểm và độ lệch chuẩn 10 điểm. Kéo ngưỡng sao cho 70% thấp nhất được tô bóng nằm bên trái nó. Tìm ngưỡng x.

μ = 65 điểmσ = 10 điểm70%

x = điểm

15.Khoảng tin cậyTrung bình

Một khoảng tin cậy 99% cho một trung bình, dựa trên 25 quan sát và σ đã biết, có sai số biên 4,1. Sai số biên E₂ của một khoảng 90% từ cùng dữ liệu là bao nhiêu?

99%n₁ = 25E₁ = 4,190%

E₂ =

16.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 23. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 4?

σ = 23E = 499%

n =

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 81 sinh viên có điểm trung bình 121,6 và độ lệch chuẩn mẫu 5. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 121,6s = 5n = 81

t =

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Cỡ mẫu phải lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 0,5? Độ lệch chuẩn là 8. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.

σ = 8E = 0,590%

n =

19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Tìm hệ số tương quan Pearson r.

n = 5

r =

20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 18?

n = 5ŷ = 18

x =

3Dung dịch

1.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 1553 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Số mũ

r·t = 0,04·11 = 0,44

e^0,44 = 1,553

Giá trị tương lai

FV = 1 000·1,553 = €1 552,71

Đáp số

FV = €1 552,71

2.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: A = 278,2 €

Lãi suất tháng và số khoản gửi

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·11 = 132

Khoản tiền gửi

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 50 000·0,0045/(1,809 − 1) = €278,19

Đáp số

A = €278,19

3.NPV và IRR

Đáp số: NPV = −7582 €

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Giá trị hiện tại của từng dòng tiền

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 13 000/1,07 = 12 149,53

CF₂/(1 + 0,07)² = 19 000/1,145 = 16 595,34

CF₃/(1 + 0,07)³ = 29 000/1,225 = 23 672,64

Cộng lại

NPV = €−7 582,49

Đáp số

NPV = €−7 582,49

NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.

4.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 20,56 %

Kẹp IRR

NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.

NPV(20%) = 138,89

NPV(25%) = −1 040,00

Thu hẹp dần

Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.

IRR ≈ 20 + 5·138,89/(138,89 − (−1 040,00)) = 20,59%

chính xác: NPV(20,56%) = 0 → IRR = 20,56%

Đáp số

IRR = 20,56%

5.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: P = 934,7 €

Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.

Mỗi kỳ

C = €20,00, i = 0,025, N = 16

Giá trị hiện tại của các khoản coupon

€20,00·(1 − 0,6736)/0,025 = €261,10

Giá trị hiện tại của mệnh giá

€1 000·0,6736 = €673,62

Giá

P = €934,72

Đáp số

P = €934,72

Lợi suất cao hơn lãi suất coupon, nên trái phiếu được bán với giá chiết khấu.

6.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: YTM = 6,017 %

Phương trình cho lợi suất

€950 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Giải bằng số

P(6%) = €950,83, P(7%) = €904,67

YTM = 6,017%

Đáp số

YTM = 6,017%

7.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 7,35 %

Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).

Trọng số

V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4

WACC

WACC = 0,6·10% + 0,4·4,5%·(1 − 0,25) = 7,35%

Đáp số

WACC = 7,35%

8.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 8,005 %

Giá trị thị trường

E = 5 000 000·€45,00 = €225 000 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

Chi phí vốn chủ sở hữu (CAPM)

r_e = 3% + 1,5·4% = 9%

Trọng số

V = €265 800 000, E/V = 0,8465, D/V = 0,1535

WACC

WACC = 0,8465·9% + 0,1535·3,5%·(1 − 0,28) = 8,005%

Đáp số

WACC = 8,005%

9.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 16,99

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 239/6 = 39,83

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 14,17² + (−6,833)² + (−15,83)² + 17,17² + 13,17² + (−21,83)² = 1443

Độ lệch chuẩn

s = √(1443/5) = 16,99

Đáp số

s = 16,99

10.Thống kê mô tả

Đáp số: z = −0,5

Chuẩn hóa

z = (65 − 70)/10 = −0,5

Đáp số

z = −0,5

11.Xác suất

Đáp số: N = 21

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tổ hợp

C(7, 2) = (7·6)/(2·1) = 21

Đáp số

N = 21

12.Xác suất

Đáp số: σ_Y = 4,014

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Độ phân tán của X

μ = 2,9, Var(X) = 1,79, σ_X = 1,338

Phép biến đổi tuyến tính

σ_Y = |3|·1,338 = 4,014

Đáp số

σ_Y = 4,014

Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 3·2,9 + 20 = 28,7.

13.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,3085

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ_T = 60 kg, σ_T = 0,8·√5 = 1,789 kg

Chuẩn hóa

z = (60,9 − 60)/1,789 = 0,5

Xác suất

P = 1 − Φ(0,5) = 0,3085

Đáp số

P = 0,3085

14.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 70,2 điểm

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái

Φ(z) = 0,7

z từ bảng

z ≈ 0,52

Trở lại đơn vị ban đầu

x = 65 + 0,52·10 = 70,2 điểm

Đáp số

x = 70,2 điểm

15.Khoảng tin cậy

Đáp số: E₂ = 2,618

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Tỉ số các sai số biên

E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(25/25) = 0,6386

Sai số biên mới

E₂ = 4,1·0,6386 = 2,618

Đáp số

E₂ = 2,618

16.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 220

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = (2,576·23/4)² = 219,4

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 220

Đáp số

n = 220

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = 2,88

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556

Thống kê kiểm định

t = (121,6 − 120)/0,5556 = 2,88

Đáp số

t = 2,88

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: n = 693

Giải tìm n

n = (1,645·8/0,5)² = 692,7

Làm tròn lên

n = 693

Đáp số

n = 693

19.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9608

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 489/5 = 97,8

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 220

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1311

Hệ số tương quan

r = 220/√(40·1311) = 0,9608

Đáp số

r = 0,9608

20.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: x = 3,429

Các giá trị trung bình

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 93/5 = 18,6

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −14

Đường hồi quy

b = −14/10 = −1,4

a = 18,6 − (−1,4)·3 = 22,8

ŷ = 22,8 − 1,4·x

Giải tìm x

x = (18 − 22,8)/(−1,4) = 3,429

Đáp số

x = 3,429

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income