Một bất động sản dự kiến thu được tiền thuê ròng €20 000 vào năm tới. Tiền thuê dự kiến tăng 2% mỗi năm mãi mãi. Tỉ suất sinh lợi yêu cầu là 6% mỗi năm. Tìm giá trị PV của bất động sản hôm nay.
C1 = €20 000g = 2%r = 6%
PV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Bạn vay €15 000 với lãi suất 7,2% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng, và trả €675 vào cuối mỗi tháng. Cần bao nhiêu tháng để trả hết khoản vay (khoản thanh toán cuối có thể nhỏ hơn)? Cho số lần thanh toán N.
P = €15 000A = €6757,2% / 12
N = lần thanh toán
3.NPV và IRRTrung bình
Một chiếc máy tốn €100 000 hôm nay. Nó tạo ra €37 500 vào cuối mỗi năm trong 3 năm và sau đó có thể bán với giá €10 000. Chi phí vốn là 12%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
C0 = €100 000CF = €37 500S = €10 000n = 3r = 12%
NPV = €
4.NPV và IRRKhó
Một dự án tốn €40 000 và mang về €17 500, €16 500, €18 500 vào cuối các năm từ 1 đến 3. Các dòng tiền có thể được tái đầu tư với chi phí vốn 10%. Tìm tỉ suất hoàn vốn nội bộ điều chỉnh MIRR theo phần trăm.
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả coupon hằng năm 2% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 4 năm. Lợi suất đáo hạn là 5,5% mỗi năm. Tìm giá P của trái phiếu.
F = €1 000coupon = 2%YTM = 5,5%n = 4
P = €
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu giao dịch ở mức giá €1 035 với lợi suất đến ngày đáo hạn 5% (ghép lãi hằng năm) và thời lượng Macaulay 3,9 năm. Dùng thời lượng điều chỉnh để ước lượng giá mới P nếu lợi suất tăng 100 điểm cơ bản.
P0 = €1 035y = 5%D = 3,9Δy = +100 bp
P = €
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €3 000 000 và nợ trị giá €6 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 14%, chi phí nợ trước thuế là 4% và thuế suất là 25,8%. Tìm WACC.
Một công ty có vốn chủ sở hữu với giá trị thị trường €8 000 000 và chi phí vốn chủ sở hữu 12%. Nợ của công ty gồm 4 000 trái phiếu (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 5%, còn 6 năm đến ngày đáo hạn) giao dịch ở mức €1 080 mỗi trái phiếu. Thuế suất là 25%. Tìm WACC, dùng lợi suất đến ngày đáo hạn của các trái phiếu làm chi phí nợ trước thuế.
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 22, 15, 54, 33, 56, 43, 26.
n = 7
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 70 và độ lệch chuẩn 15. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 62,5 là bao nhiêu?
μ = 70σ = 15x = 62,5
P =
11.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,35, 0,05, 0,25, 0,15, 0,2
σ =
12.Xác suấtKhó
Một bài kiểm tra có 11 câu trắc nghiệm. Một học sinh đoán mò được mỗi câu đúng với xác suất 0,5, độc lập với nhau. Xác suất P để có đúng 2 câu trả lời đúng là bao nhiêu?
n = 11p = 0,5k = 2
P =
13.Phân phối chuẩnTrung bình
chiều cao của nam giới trưởng thành có phân phối chuẩn với trung bình 178 cm và độ lệch chuẩn 7 cm. Tỉ lệ nào nằm giữa 167,5 và 181,5 cm? Cho P dưới dạng số thập phân.
μ = 178σ = 7x1 = 167,5x2 = 181,5
P =
14.Phân phối chuẩnKhó
Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,04 mm và độ lệch chuẩn 0,015 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,01 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
lỗ: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 16 phần tử có trung bình 107,5 và độ lệch chuẩn s = 2,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
n = 16x̄ = 107,5s = 2,590%t(15) = 1,753
giới hạn trên =
16.Khoảng tin cậyKhó
Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 17 ô, năng suất trung bình 74,5 kg, độ lệch chuẩn 6 kg. Nhóm ô 2: 9 ô, trung bình 68,5 kg, độ lệch chuẩn 8,5 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 95% cho μ₁ − μ₂.
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 64 sinh viên có điểm trung bình 49,44 và độ lệch chuẩn mẫu 5. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 49,44s = 5n = 64
t =
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Cỡ mẫu phải lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 2? Độ lệch chuẩn là 15. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.
σ = 15E = 295%
n =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (4,5, 23) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.
n = 5(4,5, 23)
e =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: PV = 500000 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Biến đổi công thức niên kim
i = 0,006
(1 + i)−N = 1 − 15 000·0,006/675 = 0,8667
Giải bằng logarit
N = −ln(0,8667)/ln(1,006) = 23,92
Làm tròn lên thành số lần thanh toán nguyên
23 khoản thanh toán đầy đủ còn để lại một khoản dư nhỏ, được xóa bằng khoản thanh toán cuối cùng nhỏ hơn.
N = 24
Đáp số
N = 24 lần thanh toán
3.NPV và IRR
Đáp số: NPV = −2814 €
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
IRR điều chỉnh: ghép lãi mọi dòng tiền vào đến cuối dự án theo lãi suất tái đầu tư (thường là chi phí vốn) để được giá trị cuối kỳ TV. MIRR là tỉ suất biến khoản đầu tư ban đầu thành TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Giá trị cuối kỳ của các dòng tiền vào
17 500·1,12 = 21 175,00
16 500·1,11 = 18 150,00
18 500·1,10 = 18 500,00
TV = 57 825,00
MIRR
MIRR = (57 825,00/40 000)1/3 − 1 = 13,07%
Đáp số
MIRR = 13,07%
5.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: P = 875,8 €
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Mỗi kỳ
C = €10,00, i = 0,0275, N = 8
Giá trị hiện tại của các khoản coupon
€10,00·(1 − 0,8049)/0,0275 = €70,94
Giá trị hiện tại của mệnh giá
€1 000·0,8049 = €804,91
Giá
P = €875,85
Đáp số
P = €875,85
Lợi suất cao hơn lãi suất coupon, nên trái phiếu được bán với giá chiết khấu.
6.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: P = 996,6 €
Thời lượng (duration): thời lượng Macaulay là thời gian trung bình có trọng số mà trái phiếu trả các dòng tiền của nó, với trọng số là giá trị hiện tại của các dòng tiền: D = Σ t·PVₜ/P. Thời lượng điều chỉnh D/(1 + y) ước lượng phần trăm thay đổi giá khi lợi suất thay đổi nhỏ: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Thời lượng điều chỉnh
Dmod = 3,9/1,05 = 3,714
Thay đổi giá ước lượng
%ΔP ≈ −3,714·(0,01) = −3,714%
P ≈ 1035·(1 − 0,03714) = €996,56
Đáp số
P = €996,56
Thời lượng là một ước lượng tuyến tính; với thay đổi lợi suất lớn, độ lồi làm giá thực cao hơn một chút.
7.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 6,645 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = −0,5
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Đáp số
P = 0,3085
11.Xác suất
Đáp số: σ = 1,536
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
điểm z
z₁ = (167,5 − 178)/7 = −1,5
z₂ = (181,5 − 178)/7 = 0,5
Diện tích ở giữa
P = Φ(0,5) − Φ(−1,5) = 0,6915 − 0,06681 = 0,6247
Đáp số
P = 0,6247
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,9868
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,01803 mm
Chuẩn hóa
z = (0 − 0,04)/0,01803 = −2,22
Xác suất
P = 1 − Φ(−2,22) = 0,9868
Đáp số
P = 0,9868
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn trên = 108,6
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 15, t = 1,753
Sai số biên
E = 1,753·2,5/√16 = 1,096
Khoảng
107,5 ± 1,096 → [106,4, 108,6]
Đáp số
giới hạn trên = 108,6
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 5,9 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Độ lệch chuẩn gộp
sp² = (16·6² + 8·8,5²)/24 = 48,08
sp = 6,934
Sai số biên
E = 2,064·6,934·√(1/17 + 1/9) = 5,9
Đáp số
E = 5,9 kg
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = −0,896
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 5/√64 = 5/8 = 0,625
Thống kê kiểm định
t = (49,44 − 50)/0,625 = −0,896
Đáp số
t = −0,896
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: n = 217
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Giải tìm n
n = (1,96·15/2)² = 216,1
Làm tròn lên
n = 217
Đáp số
n = 217
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9446
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 1574 − 25·304/5 = 54
Sxx = 135 − 25²/5 = 10
Syy = 18810 − 304²/5 = 326,8
Hệ số tương quan
r = 54/√(10·326,8) = 0,9446
Đáp số
r = 0,9446
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: e = 3,5
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 111/5 = 22,2
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −18
Đường hồi quy
b = −18/10 = −1,8
a = 22,2 − (−1,8)·3 = 27,6
ŷ = 27,6 − 1,8·x
Giá trị dự đoán
ŷ = 27,6 + (−1,8)·4,5 = 19,5
Phần dư
e = 23 − 19,5 = 3,5
Đáp số
e = 3,5
Điểm nằm phía trên đường thẳng.
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.