Luyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Giá và lợi suất trái phiếu

Giá trái phiếu: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Nửa năm: C/2, y/2 và 2n kỳ
Lợi suất hiện hành: C/P
Giá và lợi suất: lợi suất tăng → giá giảm

Phương pháp

Tìm coupon mỗi kỳ và lợi suất mỗi kỳ.
Giá = giá trị hiện tại của các khoản coupon (một niên kim) + giá trị hiện tại của mệnh giá.
Với coupon nửa năm, dùng một nửa coupon, một nửa lợi suất và gấp đôi số kỳ.
Kiểm tra: nếu lợi suất cao hơn lãi suất coupon, giá thấp hơn mệnh giá.

CAPM và WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Giá trị doanh nghiệp: V = E + D

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn cần €10 000 sau 9 năm. Một tài khoản trả lãi 3,6% mỗi năm, ghép lãi hằng quý. Hôm nay bạn phải gửi bao nhiêu? Tìm giá trị hiện tại PV.

FV = €10 0003,6% / 4n = 9

PV = €

2.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Bạn muốn có €75 000 sau 13 năm. Bạn gửi cùng một số tiền vào cuối mỗi tháng vào một tài khoản trả lãi 7,2% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm khoản tiền gửi hằng tháng A.

FV = €75 0007,2% / 12N = 156

A = €

3.NPV và IRRTrung bình

Một khoản đầu tư €20 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 4: €9 000, €8 000, €6 000, €5 000. Chi phí vốn là 6%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 8 000CF₃ = 6 000CF₄ = 5 000

NPV = €

4.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €25 000 và mang lại €11 500, €9 000, €18 500 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

CF₀ = −25 000CF₁ = 11 500CF₂ = 9 000CF₃ = 18 500

IRR = %

5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả coupon hằng năm 4% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 9 năm. Lợi suất đáo hạn là 7% mỗi năm. Tìm giá P của trái phiếu.

F = €1 000coupon = 4%YTM = 7%n = 9

P = €

6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó

Một trái phiếu còn 18 năm đến ngày đáo hạn (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 9%) được bán với giá €1 094. Tổ chức phát hành có thể mua lại nó sau 4 năm với giá mua lại €1 090. Tìm lợi suất đến ngày mua lại YTC theo phần trăm.

F = €1 000coupon = 9%P = €1 094giá mua lại = €1 090mua lại sau 4 năm

YTC = %

7.CAPM và WACCTrung bình

Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €3 000 000 và nợ trị giá €4 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 11%, chi phí nợ trước thuế là 4,5% và thuế suất là 25,8%. Tìm WACC.

E = €3 000 000D = €4 000 000r_e = 11%r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM và WACCKhó

Một công ty có 2 000 000 cổ phiếu giá €23,50 mỗi cổ phiếu và 5 000 trái phiếu giao dịch ở €1 020 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 4,5% và thuế suất là 21%. Beta của cổ phiếu là 1,8, lãi suất phi rủi ro 2,5% và lợi suất thị trường 7,5%. Tìm WACC.

β = 1,8r_f = 2,5%r_m = 7,5%r_d = 4,5%T = 21%

WACC = %

9.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 47, 43, 57, 24, 45, 28, 45.

n = 7

s =

10.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 60 và độ lệch chuẩn 20. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 44 là bao nhiêu?

μ = 60σ = 20x = 44

P =

11.Xác suấtTrung bình

Có bao nhiêu cách N chọn một ủy ban gồm 5 người từ một nhóm 10 người? Thứ tự không quan trọng.

n = 10k = 5

N =

12.Xác suấtKhó

5 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,3, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?

n = 5p = 0,3

P =

13.Phân phối chuẩnTrung bình

X có phân bố chuẩn với trung bình 60 s và độ lệch chuẩn 5 s; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 45 s và độ lệch chuẩn 4 s. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 111,4 s. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 111,4 s

P =

14.Phân phối chuẩnKhó

điểm thi tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 65 điểm và độ lệch chuẩn 10 điểm. Kéo ngưỡng sao cho 85% thấp nhất được tô bóng nằm bên trái nó. Tìm ngưỡng x.

μ = 65 điểmσ = 10 điểm85%

x = điểm

15.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 30 phần tử có trung bình 95,5 và độ lệch chuẩn s = 8,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.

n = 30x̄ = 95,5s = 8,599%t(29) = 2,756

E =

16.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 10. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 1?

σ = 10E = 195%

n =

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Trung bình của một tổng thể được cho là 120; độ lệch chuẩn tổng thể đã biết là 32. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 64 quan sát có trung bình 126,24. Kiểm định H₀: μ = 120 với H₁: μ > 120. Tìm giá trị p p.

μ₀ = 120σ = 32n = 64x̄ = 126,24H₁: μ > μ₀

p =

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một mẫu 49 phép đo có trung bình 496,4. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 15. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.

x̄ = 496,4σ = 15n = 4995%

L =

19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.

n = 5

r² =

20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (6,5, 70) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 5(6,5, 70)

e =

3Dung dịch

1.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: PV = 7243 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất và số kỳ

i = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = 4·9 = 36

Giá trị hiện tại

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1,381 = €7 242,99

Đáp số

PV = €7 242,99

2.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: A = 291,7 €

Lãi suất tháng và số khoản gửi

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·13 = 156

Khoản tiền gửi

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 75 000·0,006/(2,543 − 1) = €291,71

Đáp số

A = €291,71

3.NPV và IRR

Đáp số: NPV = 4609 €

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Giá trị hiện tại của từng dòng tiền

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 9 000/1,06 = 8 490,57

CF₂/(1 + 0,06)² = 8 000/1,124 = 7 119,97

CF₃/(1 + 0,06)³ = 6 000/1,191 = 5 037,72

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 5 000/1,262 = 3 960,47

Cộng lại

NPV = €4 608,72

Đáp số

NPV = €4 608,72

NPV dương, nên dự án sinh lời nhiều hơn mức yêu cầu.

4.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 23,58 %

Kẹp IRR

NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.

NPV(20%) = 1 539,35

NPV(25%) = −568,00

Thu hẹp dần

Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.

IRR ≈ 20 + 5·1 539,35/(1 539,35 − (−568,00)) = 23,65%

chính xác: NPV(23,58%) = 0 → IRR = 23,58%

Đáp số

IRR = 23,58%

5.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: P = 802,2 €

Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.

Mỗi kỳ

C = €20,00, i = 0,035, N = 18

Giá trị hiện tại của các khoản coupon

€20,00·(1 − 0,5384)/0,035 = €263,79

Giá trị hiện tại của mệnh giá

€1 000·0,5384 = €538,36

Giá

P = €802,15

Đáp số

P = €802,15

Lợi suất cao hơn lãi suất coupon, nên trái phiếu được bán với giá chiết khấu.

6.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: YTC = 8,146 %

Phương trình cho lợi suất

1094 = 90·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1090/(1 + y)⁴

Giải bằng số

y = 8%: €1 099,27

y = 9%: €1 063,76

YTC = 8,146%

Đáp số

YTC = 8,146%

Lợi suất đến ngày đáo hạn là 7,997%. Nhà đầu tư vào trái phiếu giá cao hơn mệnh giá kỳ vọng nó sẽ bị mua lại, nên lợi suất đến ngày mua lại thấp hơn là con số thực tế hơn.

7.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 6,622 %

Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).

Trọng số

V = €7 000 000, E/V = 0,4286, D/V = 0,5714

WACC

WACC = 0,4286·11% + 0,5714·4,5%·(1 − 0,258) = 6,622%

Đáp số

WACC = 6,622%

8.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 10,72 %

Giá trị thị trường

E = 2 000 000·€23,50 = €47 000 000

D = 5 000·€1 020 = €5 100 000

Chi phí vốn chủ sở hữu (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,8·5% = 11,5%

Trọng số

V = €52 100 000, E/V = 0,9021, D/V = 0,09789

WACC

WACC = 0,9021·11,5% + 0,09789·4,5%·(1 − 0,21) = 10,72%

Đáp số

WACC = 10,72%

9.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 11,44

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 289/7 = 41,29

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 5,714² + 1,714² + 15,71² + (−17,29)² + 3,714² + (−13,29)² + 3,714² = 785,4

Độ lệch chuẩn

s = √(785,4/6) = 11,44

Đáp số

s = 11,44

10.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,7881

Chuẩn hóa

z = −0,8

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Đáp số

P = 0,7881

11.Xác suất

Đáp số: N = 252

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tổ hợp

C(10, 5) = (10·9·8·7·6)/(5·4·3·2·1) = 252

Đáp số

N = 252

12.Xác suất

Đáp số: P = 0,5282

Không hỏng và một hỏng

P(X = 0) = 0,7⁵ = 0,1681

P(X = 1) = 5·0,3·0,7⁴ = 0,3601

Cộng lại

P = 0,1681 + 0,3601 = 0,5282

Đáp số

P = 0,5282

13.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,1587

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Chuẩn hóa

z = (111,4 − 105)/6,403 = 1

Đuôi trên

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Đáp số

P = 0,1587

14.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 75,4 điểm

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái

Φ(z) = 0,85

z từ bảng

z ≈ 1,04

Trở lại đơn vị ban đầu

x = 65 + 1,04·10 = 75,4 điểm

Đáp số

x = 75,4 điểm

15.Khoảng tin cậy

Đáp số: E = 4,277

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 29, t = 2,756

Sai số biên

E = 2,756·8,5/√30 = 4,277

Đáp số

E = 4,277

16.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 385

Giải tìm n

n = (1,96·10/1)² = 384,2

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 385

Đáp số

n = 385

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: p = 0,05938

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Thống kê kiểm định

SE = σ/√n = 32/√64 = 4

z = (126,24 − 120)/4 = 1,56

Diện tích đuôi

Φ(1,56) = 0,9406

1 − Φ(1,56) = 0,0594

Giá trị p

p = 0,05938

Đáp số

p = 0,05938

p > 0,05, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5%.

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: L = 492,2

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số biên

E = 1,96·15/√49 = 4,2

Giới hạn của khoảng

L = 496,4 − 4,2 = 492,2

Đáp số

L = 492,2

19.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r² = 0,9769

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 92/5 = 18,4

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 69,2

Hệ số xác định

r² = −26²/(10·69,2) = 0,9769

Đáp số

r² = 0,9769

Khoảng 97,69% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

20.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = −3,85

Các giá trị trung bình

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 325/5 = 65

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 59

Đường hồi quy

b = 59/10 = 5,9

a = 65 − 5,9·5 = 35,5

ŷ = 35,5 + 5,9·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 35,5 + 5,9·6,5 = 73,85

Phần dư

e = 70 − 73,85 = −3,85

Đáp số

e = −3,85

Điểm nằm phía dưới đường thẳng.

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income