Luyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Giá và lợi suất trái phiếu

Giá trái phiếu: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Nửa năm: C/2, y/2 và 2n kỳ
Lợi suất hiện hành: C/P
Giá và lợi suất: lợi suất tăng → giá giảm

Phương pháp

Tìm coupon mỗi kỳ và lợi suất mỗi kỳ.
Giá = giá trị hiện tại của các khoản coupon (một niên kim) + giá trị hiện tại của mệnh giá.
Với coupon nửa năm, dùng một nửa coupon, một nửa lợi suất và gấp đôi số kỳ.
Kiểm tra: nếu lợi suất cao hơn lãi suất coupon, giá thấp hơn mệnh giá.

CAPM và WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Giá trị doanh nghiệp: V = E + D

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn cần €20 000 sau 4 năm. Một tài khoản trả lãi 4,8% mỗi năm, ghép lãi hằng quý. Hôm nay bạn phải gửi bao nhiêu? Tìm giá trị hiện tại PV.

FV = €20 0004,8% / 4n = 4

PV = €

2.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Một khoản vay €25 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 6 năm. Lãi suất là 3,6% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm khoản thanh toán hằng tháng A.

P = €25 0003,6% / 12N = 72

A = €

3.NPV và IRRTrung bình

Một khoản đầu tư €30 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 3: €10 000, €9 000, €10 000. Chi phí vốn là 9%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

r = 9%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 000CF₂ = 9 000CF₃ = 10 000

NPV = €

4.NPV và IRRKhó

Một khoản đầu tư €40 000 mang về €5 000 vào cuối mỗi năm trong 9 năm. Tìm tỉ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

C₀ = €40 000CF = €5 000n = 9

IRR = %

5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả coupon hằng năm 5% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 9 năm. Lợi suất đáo hạn là 9% mỗi năm. Tìm giá P của trái phiếu.

F = €1 000coupon = 5%YTM = 9%n = 9

P = €

6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả trái tức hằng năm 7% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 12 năm. Nó được bán với giá €1 131. Tìm lợi suất đến ngày đáo hạn YTM theo lãi suất hằng năm (gấp đôi lợi suất nửa năm), theo phần trăm.

F = €1 000coupon = 7% (2×)n = 12P = €1 131

YTM = %

7.CAPM và WACCTrung bình

Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €3 000 000 và nợ trị giá €5 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 14%, chi phí nợ trước thuế là 4% và thuế suất là 21%. Tìm WACC.

E = €3 000 000D = €5 000 000r_e = 14%r_d = 4%T = 21%

WACC = %

8.CAPM và WACCKhó

Một công ty có 4 000 000 cổ phiếu giá €35,50 mỗi cổ phiếu và 5 000 trái phiếu giao dịch ở €1 050 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 6% và thuế suất là 28%. Beta của cổ phiếu là 1,8, lãi suất phi rủi ro 1% và lợi suất thị trường 6%. Tìm WACC.

β = 1,8r_f = 1%r_m = 6%r_d = 6%T = 28%

WACC = %

9.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 39, 55, 60, 26, 35, 49, 20.

n = 7

s =

10.Thống kê mô tảKhó

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 60 và độ lệch chuẩn 10. Tìm điểm z z của điểm số 50.

μ = 60σ = 10x = 50

z =

11.Xác suấtTrung bình

Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,3, 0,25, 0,05, 0,2

σ =

12.Xác suấtKhó

Một trò chơi tốn €10 mỗi lượt. Bạn thắng €40 với xác suất 0,1 và €200 với xác suất 0,02; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.

tiền cược = €10€40: p = 0,1€200: p = 0,02

E(G) = €

13.Phân phối chuẩnTrung bình

chiều cao của nam giới trưởng thành có phân phối chuẩn với trung bình 178 cm và độ lệch chuẩn 7 cm. Tỉ lệ nào nằm giữa 164 và 192,35 cm? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 178σ = 7x₁ = 164x₂ = 192,35

P =

14.Phân phối chuẩnKhó

chiều cao của nam giới trưởng thành có phân phối chuẩn với trung bình 178 cm và độ lệch chuẩn 7 cm. Tìm giá trị x mà 75% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 75).

μ = 178σ = 7P = 75%

x = cm

15.Khoảng tin cậyTrung bình

Huyết áp của 7 bệnh nhân được đo trước và sau một đợt điều trị. Các hiệu d = trước − sau (mmHg) có trung bình −1,9 và độ lệch chuẩn 2,4. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 99% cho hiệu trung bình.

n = 7d̄ = −1,9s_d = 2,499%t(6) = 3,707

giới hạn dưới = mmHg

16.Khoảng tin cậyKhó

Một nghiên cứu thí điểm cho thấy khoảng 0,4 sản phẩm bị lỗi. Phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm n để khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ có sai số biên tối đa 0,02?

p ≈ 0,4E = 0,0295%

n =

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 36 sinh viên có điểm trung bình 117,8 và độ lệch chuẩn mẫu 5. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 117,8s = 5n = 36

t =

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một mẫu 16 phép đo có trung bình 95,3. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 10. Tìm giới hạn trên U của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.

x̄ = 95,3σ = 10n = 1699%

U =

19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.

n = 5

r² =

20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (3,5, 15) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 6(3,5, 15)

e =

3Dung dịch

1.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: PV = 16525 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất và số kỳ

i = 0,048/4 = 0,012

N = 4·4 = 16

Giá trị hiện tại

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1,21 = €16 525,01

Đáp số

PV = €16 525,01

2.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: A = 386,6 €

Lãi suất tháng và số kỳ thanh toán

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·6 = 72

Khoản thanh toán

Giá trị hiện tại của N khoản thanh toán bằng nhau A là A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Cho nó bằng khoản vay và giải tìm A.

(1 + i)^−N = 0,806

A = 25 000·0,003/(1 − 0,806) = €386,59

Đáp số

A = €386,59

3.NPV và IRR

Đáp số: NPV = −5529 €

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Giá trị hiện tại của từng dòng tiền

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 10 000/1,09 = 9 174,31

CF₂/(1 + 0,09)² = 9 000/1,188 = 7 575,12

CF₃/(1 + 0,09)³ = 10 000/1,295 = 7 721,83

Cộng lại

NPV = €−5 528,73

Đáp số

NPV = €−5 528,73

NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.

4.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 2,423 %

Hệ số niên kim cần thiết

(1 − (1 + i)⁻⁹)/i = 40 000/5 000 = 8

Giải tìm lãi suất

Hệ số niên kim giảm khi lãi suất tăng; hãy chặn khoảng giá trị của lãi suất rồi thu hẹp dần.

i = 2%: 8,162

i = 3%: 7,786

IRR = 2,423%

Đáp số

IRR = 2,423%

5.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: P = 756,8 €

Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.

Mỗi kỳ

C = €25,00, i = 0,045, N = 18

Giá trị hiện tại của các khoản coupon

€25,00·(1 − 0,4528)/0,045 = €304,00

Giá trị hiện tại của mệnh giá

€1 000·0,4528 = €452,80

Giá

P = €756,80

Đáp số

P = €756,80

Lợi suất cao hơn lãi suất coupon, nên trái phiếu được bán với giá chiết khấu.

6.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: YTM = 5,495 %

Mỗi kỳ

C = €35,00, N = 24

Giải bằng số

i = 2,747% mỗi nửa năm

YTM

YTM = 2·2,747% = 5,495%

Đáp số

YTM = 5,495%

7.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 7,225 %

Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).

Trọng số

V = €8 000 000, E/V = 0,375, D/V = 0,625

WACC

WACC = 0,375·14% + 0,625·4%·(1 − 0,21) = 7,225%

Đáp số

WACC = 7,225%

8.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 9,797 %

Giá trị thị trường

E = 4 000 000·€35,50 = €142 000 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

Chi phí vốn chủ sở hữu (CAPM)

r_e = 1% + 1,8·5% = 10%

Trọng số

V = €147 250 000, E/V = 0,9643, D/V = 0,03565

WACC

WACC = 0,9643·10% + 0,03565·6%·(1 − 0,28) = 9,797%

Đáp số

WACC = 9,797%

9.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 14,86

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 284/7 = 40,57

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−1,571)² + 14,43² + 19,43² + (−14,57)² + (−5,571)² + 8,429² + (−20,57)² = 1326

Độ lệch chuẩn

s = √(1326/6) = 14,86

Đáp số

s = 14,86

10.Thống kê mô tả

Đáp số: z = −1

Chuẩn hóa

z = (50 − 60)/10 = −1

Đáp số

z = −1

11.Xác suất

Đáp số: σ = 1,374

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 0·0,2 + 1·0,3 + 2·0,25 + 3·0,05 + 4·0,2 = 1,75

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,3 + 4·0,25 + 9·0,05 + 16·0,2 = 4,95

Phương sai

Var(X) = 4,95 − 1,75² = 1,888

σ = √1,888 = 1,374

Đáp số

σ = 1,374

12.Xác suất

Đáp số: E(G) = −2 €

Các kết quả ròng

G: 30 (p = 0,1), 190 (p = 0,02), −10 (p = 0,88)

Giá trị kỳ vọng

E(G) = 30·0,1 + 190·0,02 − 10·0,88 = −2 €

Đáp số

E(G) = −2 €

Giá trị âm nghĩa là trung bình bạn thua tiền.

13.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,9571

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (164 − 178)/7 = −2

z₂ = (192,35 − 178)/7 = 2,05

Diện tích ở giữa

P = Φ(2,05) − Φ(−2) = 0,9798 − 0,02275 = 0,9571

Đáp số

P = 0,9571

14.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 182,7 cm

z của phân vị

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Quay lại x

x = 178 + 0,6745·7 = 182,72 cm

Đáp số

x = 182,72 cm

15.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn dưới = −5,263 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Giá trị tới hạn

df = 6, t = 3,707

Sai số biên

E = 3,707·2,4/√7 = 3,363

Khoảng

−1,9 ± 3,363 → [−5,263, 1,463]

Đáp số

giới hạn dưới = −5,263 mmHg

16.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 2305

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Giải tìm n

n = 1,96²·0,4·0,6/0,02² = 2305

Làm tròn lên

n = 2305

Đáp số

n = 2305

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −2,64

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333

Thống kê kiểm định

t = (117,8 − 120)/0,8333 = −2,64

Đáp số

t = −2,64

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: U = 101,7

Sai số biên

E = 2,576·10/√16 = 6,44

Giới hạn của khoảng

U = 95,3 + 6,44 = 101,7

Đáp số

U = 101,7

19.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r² = 0,9704

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 558/5 = 111,6

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 477

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2605

Hệ số xác định

r² = 477²/(90·2605) = 0,9704

Đáp số

r² = 0,9704

Khoảng 97,04% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

20.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = −2,167

Các giá trị trung bình

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 103/6 = 17,17

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −54,5

Đường hồi quy

b = −54,5/17,5 = −3,114

a = 17,17 − (−3,114)·3,5 = 28,07

ŷ = 28,07 − 3,114·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 28,07 + (−3,114)·3,5 = 17,17

Phần dư

e = 15 − 17,17 = −2,167

Đáp số

e = −2,167

Điểm nằm phía dưới đường thẳng.

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income