Luyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Giá và lợi suất trái phiếu

Giá trái phiếu: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Nửa năm: C/2, y/2 và 2n kỳ
Lợi suất hiện hành: C/P
Giá và lợi suất: lợi suất tăng → giá giảm

Phương pháp

Tìm coupon mỗi kỳ và lợi suất mỗi kỳ.
Giá = giá trị hiện tại của các khoản coupon (một niên kim) + giá trị hiện tại của mệnh giá.
Với coupon nửa năm, dùng một nửa coupon, một nửa lợi suất và gấp đôi số kỳ.
Kiểm tra: nếu lợi suất cao hơn lãi suất coupon, giá thấp hơn mệnh giá.

CAPM và WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Giá trị doanh nghiệp: V = E + D

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn đầu tư €3 000 với lãi suất danh nghĩa 6% mỗi năm, ghép lãi hằng quý. Tìm giá trị FV của khoản đầu tư sau 5 năm.

PV = €3 0006% / 4n = 5

FV = €

2.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Một khoản vay thế chấp €300 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 25 năm với lãi suất 2,4% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Ngay sau khoản thanh toán cuối năm 7 còn nợ bao nhiêu? Tìm số dư nợ B.

P = €300 0002,4% / 12N = 300k = 84

B = €

3.NPV và IRRTrung bình

Một khoản đầu tư €30 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 4: €9 000, €10 000, €13 000, €9 000. Chi phí vốn là 9%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

r = 9%CF₀ = −30 000CF₁ = 9 000CF₂ = 10 000CF₃ = 13 000CF₄ = 9 000

NPV = €

4.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €20 000 và mang lại €15 000, €10 000 vào cuối các năm 1 đến 2. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

CF₀ = −20 000CF₁ = 15 000CF₂ = 10 000

IRR = %

5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả coupon hằng năm 5% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 4 năm. Lợi suất đáo hạn là 2,5% mỗi năm. Tìm giá P của trái phiếu.

F = €1 000coupon = 5%YTM = 2,5%n = 4

P = €

6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả trái tức hằng năm 4% và đáo hạn sau 6 năm. Lợi suất đến ngày đáo hạn là 5,5%. Tìm thời lượng Macaulay D theo năm.

F = €1 000coupon = 4%n = 6YTM = 5,5%

D = năm

7.CAPM và WACCTrung bình

Một công ty có tỉ lệ nợ trên vốn chủ sở hữu (theo giá trị thị trường) là 1. Chi phí vốn chủ sở hữu của nó là 10%, chi phí nợ trước thuế là 3% và thuế suất là 25%. Tìm WACC.

D/E = 1r_e = 10%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

8.CAPM và WACCKhó

Hoạt động kinh doanh của một công ty có beta không có đòn bẩy (beta tài sản) là 0,8. Công ty dự định tỉ lệ nợ trên vốn chủ sở hữu là 0,75. Thuế suất là 21%, lãi suất phi rủi ro là 3,5% và phần bù rủi ro thị trường là 4,5%. Tìm chi phí vốn chủ sở hữu r_e ở cơ cấu vốn mới.

β_U = 0,8D/E = 0,75T = 21%r_f = 3,5%r_m − r_f = 4,5%

r_e = %

9.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 14, 52, 25, 41, 60, 40, 49.

n = 7

s =

10.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 500 và độ lệch chuẩn 100. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 450 là bao nhiêu?

μ = 500σ = 100x = 450

P =

11.Xác suấtTrung bình

Một túi chứa 4 quả bóng đỏ và 9 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?

4 / 9

P =

12.Xác suấtKhó

Một trò chơi tốn €5 mỗi lượt. Bạn thắng €25 với xác suất 0,15 và €100 với xác suất 0,05; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.

tiền cược = €5€25: p = 0,15€100: p = 0,05

E(G) = €

13.Phân phối chuẩnTrung bình

Khối lượng của hành khách có hành lý là độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 85 kg và độ lệch chuẩn 12 kg. Tìm xác suất P để tổng khối lượng của 5 trong số đó vượt quá 438,4 kg. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5> 438,4 kg

P =

14.Phân phối chuẩnKhó

điểm IQ tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Kéo ngưỡng sao cho 75% cao nhất được tô bóng nằm bên phải nó. Tìm ngưỡng x.

μ = 100 điểmσ = 15 điểm75%

x = điểm

15.Khoảng tin cậyTrung bình

Thời lượng pin của hai mẫu điện thoại được so sánh. Mẫu 1: 100 điện thoại, trung bình 41,5 h, độ lệch chuẩn đã biết 9 h. Mẫu 2: 50 điện thoại, trung bình 46,5 h, độ lệch chuẩn đã biết 11 h. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 99% cho μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 41,5 hσ₁ = 9 hn₂ = 50x̄₂ = 46,5 hσ₂ = 11 h99%

giới hạn trên = h

16.Khoảng tin cậyKhó

Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 5 ô, năng suất trung bình 53,5 kg, độ lệch chuẩn 9 kg. Nhóm ô 2: 16 ô, trung bình 60,5 kg, độ lệch chuẩn 3,5 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 90% cho μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 53,5s₁ = 9n₂ = 16x̄₂ = 60,5s₂ = 3,590%t(19) = 1,729

E = kg

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 100 sinh viên có điểm trung bình 199,3 và độ lệch chuẩn mẫu 8. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 199,3s = 8n = 100

t =

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Cỡ mẫu phải lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 3? Độ lệch chuẩn là 20. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.

σ = 20E = 399%

n =

19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.

n = 6

r² =

20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (9, 11) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 5(9, 11)

e =

3Dung dịch

1.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 4041 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất và số kỳ

i = r/m = 0,06/4 = 0,015

N = m·n = 4·5 = 20

Giá trị tương lai

FV = 3 000·(1 + 0,015)²⁰ = 3 000·1,347 = €4 040,57

Đáp số

FV = €4 040,57

2.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: B = 233228 €

Khoản thanh toán hằng tháng

i = 0,002, N = 300

A = 300 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)⁻³⁰⁰) = €1 330,79

Giá trị hiện tại của các khoản thanh toán còn lại

Số còn nợ phải được trả hết đúng bằng các khoản thanh toán còn lại.

N − k = 300 − 84 = 216

B = 1331·(1 − (1 + 0,002)⁻²¹⁶)/0,002 = €233 228,23

Đáp số

B = €233 228,23

3.NPV và IRR

Đáp số: NPV = 3088 €

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Giá trị hiện tại của từng dòng tiền

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 9 000/1,09 = 8 256,88

CF₂/(1 + 0,09)² = 10 000/1,188 = 8 416,80

CF₃/(1 + 0,09)³ = 13 000/1,295 = 10 038,39

CF₄/(1 + 0,09)⁴ = 9 000/1,412 = 6 375,83

Cộng lại

NPV = €3 087,89

Đáp số

NPV = €3 087,89

NPV dương, nên dự án sinh lời nhiều hơn mức yêu cầu.

4.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 17,54 %

Kẹp IRR

NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.

NPV(15%) = 604,91

NPV(20%) = −555,56

Thu hẹp dần

Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.

IRR ≈ 15 + 5·604,91/(604,91 − (−555,56)) = 17,61%

chính xác: NPV(17,54%) = 0 → IRR = 17,54%

Đáp số

IRR = 17,54%

5.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: P = 1095 €

Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.

Mỗi kỳ

C = €25,00, i = 0,0125, N = 8

Giá trị hiện tại của các khoản coupon

€25,00·(1 − 0,9054)/0,0125 = €189,20

Giá trị hiện tại của mệnh giá

€1 000·0,9054 = €905,40

Giá

P = €1 094,60

Đáp số

P = €1 094,60

Lợi suất thấp hơn lãi suất coupon, nên trái phiếu được bán với giá cao hơn mệnh giá.

6.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: D = 5,426 năm

Thời lượng (duration): thời lượng Macaulay là thời gian trung bình có trọng số mà trái phiếu trả các dòng tiền của nó, với trọng số là giá trị hiện tại của các dòng tiền: D = Σ t·PVₜ/P. Thời lượng điều chỉnh D/(1 + y) ước lượng phần trăm thay đổi giá khi lợi suất thay đổi nhỏ: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Giá trị hiện tại của từng dòng tiền

t = 1: 40/1,055 = 37,91, t·PV = 37,91

t = 2: 40/1,113 = 35,94, t·PV = 71,88

t = 3: 40/1,174 = 34,06, t·PV = 102,19

t = 4: 40/1,239 = 32,29, t·PV = 129,15

t = 5: 40/1,307 = 30,61, t·PV = 153,03

t = 6: 1040/1,379 = 754,26, t·PV = 4 525,53

Thời lượng

P = 925,07

D = 5 019,70/925,07 = 5,426

Đáp số

D = 5,426 năm

7.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 6,125 %

Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).

Các tỉ trọng từ D/E

E/V = 1/(1 + 1) = 0,5

D/V = 1/(1 + 1) = 0,5

WACC

WACC = 0,5·10% + 0,5·3%·(1 − 0,25) = 6,125%

Đáp số

WACC = 6,125%

8.CAPM và WACC

Đáp số: r_e = 9,233 %

Beta có đòn bẩy (Hamada): nợ làm vốn chủ sở hữu rủi ro hơn. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), trong đó β_U là beta của hoạt động kinh doanh không có nợ. Để chuyển beta sang cơ cấu vốn khác, hãy bỏ đòn bẩy trước rồi áp lại đòn bẩy với D/E mới.

Beta có đòn bẩy

β_L = 0,8·(1 + 0,79·0,75) = 1,274

Chi phí vốn chủ sở hữu (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,274·4,5% = 9,233%

Đáp số

r_e = 9,233%

9.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 15,95

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 281/7 = 40,14

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−26,14)² + 11,86² + (−15,14)² + 0,8571² + 19,86² + (−0,1429)² + 8,857² = 1527

Độ lệch chuẩn

s = √(1527/6) = 15,95

Đáp số

s = 15,95

10.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,6915

Chuẩn hóa

z = −0,5

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Đáp số

P = 0,6915

11.Xác suất

Đáp số: P = 0,07692

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Lần rút thứ nhất và thứ hai

P = 4/13 · 3/12 = 12/156 = 0,07692

Đáp số

P = 0,07692

12.Xác suất

Đáp số: E(G) = 3,75 €

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Các kết quả ròng

G: 20 (p = 0,15), 95 (p = 0,05), −5 (p = 0,8)

Giá trị kỳ vọng

E(G) = 20·0,15 + 95·0,05 − 5·0,8 = 3,75 €

Đáp số

E(G) = 3,75 €

Giá trị dương nghĩa là trung bình bạn thắng tiền.

13.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,3085

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ_T = 425 kg, σ_T = 12·√5 = 26,83 kg

Chuẩn hóa

z = (438,4 − 425)/26,83 = 0,5

Xác suất

P = 1 − Φ(0,5) = 0,3085

Đáp số

P = 0,3085

14.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 90 điểm

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái

Φ(z) = 0,25

z từ bảng

z ≈ −0,67

Trở lại đơn vị ban đầu

x = 100 − 0,67·15 = 90 điểm

Đáp số

x = 90 điểm

15.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = −0,3704 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Ước lượng điểm

x̄₁ − x̄₂ = 41,5 − 46,5 = −5

Sai số chuẩn

SE = √(9²/100 + 11²/50) = 1,797

Sai số biên

E = 2,576·1,797 = 4,63

Khoảng

−5 ± 4,63 → [−9,63, −0,3704]

Đáp số

giới hạn trên = −0,3704 h

Khoảng không chứa 0, nên các trung bình khác nhau có ý nghĩa.

16.Khoảng tin cậy

Đáp số: E = 4,579 kg

Độ lệch chuẩn gộp

s_p² = (4·9² + 15·3,5²)/19 = 26,72

s_p = 5,169

Sai số biên

E = 1,729·5,169·√(1/5 + 1/16) = 4,579

Đáp số

E = 4,579 kg

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −0,875

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8

Thống kê kiểm định

t = (199,3 − 200)/0,8 = −0,875

Đáp số

t = −0,875

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: n = 295

Giải tìm n

n = (2,576·20/3)² = 294,9

Làm tròn lên

n = 295

Đáp số

n = 295

19.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r² = 0,9944

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 124/6 = 20,67

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 220

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 695,3

Hệ số xác định

r² = 220²/(70·695,3) = 0,9944

Đáp số

r² = 0,9944

Khoảng 99,44% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

20.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = −5,05

Các giá trị trung bình

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 54/5 = 10,8

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 70

Đường hồi quy

b = 70/40 = 1,75

a = 10,8 − 1,75·6 = 0,3

ŷ = 0,3 + 1,75·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 0,3 + 1,75·9 = 16,05

Phần dư

e = 11 − 16,05 = −5,05

Đáp số

e = −5,05

Điểm nằm phía dưới đường thẳng.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income