Một bất động sản dự kiến thu được tiền thuê ròng €12 000 vào năm tới. Tiền thuê dự kiến tăng 2,5% mỗi năm mãi mãi. Tỉ suất sinh lợi yêu cầu là 6,5% mỗi năm. Tìm giá trị PV của bất động sản hôm nay.
C1 = €12 000g = 2,5%r = 6,5%
PV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Một khoản vay €20 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 3 năm. Lãi suất là 5,4% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm khoản thanh toán hằng tháng A.
P = €20 0005,4% / 12N = 36
A = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một dự án tốn €30 000 hôm nay và mang về €8 500 vào cuối mỗi năm trong 5 năm. Chi phí vốn là 6%. Giả sử các dòng tiền đến đều đặn trong mỗi năm. Tìm thời gian hoàn vốn có chiết khấu DPB theo năm.
Một dự án tốn €100 000 hôm nay. Dòng tiền của nó là €20 000 vào cuối năm thứ 1 và tăng 5% mỗi năm cho đến dòng tiền cuối cùng vào cuối năm 6. Chi phí vốn là 10%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
C0 = €100 000CF1 = €20 000g = 5%n = 6r = 10%
NPV = €
5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả trái tức hằng năm 4,5% và đáo hạn sau 4 năm. Lợi suất đến ngày đáo hạn của nó thay đổi từ 9% thành 7,5%. Giá trái phiếu thay đổi bao nhiêu ΔP?
F = €1 000coupon = 4,5%n = 4y1 = 9%y2 = 7,5%
ΔP = €
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả trái tức hằng năm 3% và đáo hạn sau 6 năm. Lợi suất đến ngày đáo hạn là 4%. Tìm thời lượng Macaulay D theo năm.
F = €1 000coupon = 3%n = 6YTM = 4%
D = năm
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €10 000 000 và nợ trị giá €4 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 10%, chi phí nợ trước thuế là 4,5% và thuế suất là 25,8%. Tìm WACC.
Cổ phiếu của một công ty có beta 1 ở tỉ lệ nợ trên vốn chủ sở hữu hiện tại 0,2. Công ty dự định tăng tỉ lệ nợ trên vốn chủ sở hữu lên 1,25. Thuế suất là 30%, lãi suất phi rủi ro 1% và phần bù rủi ro thị trường 5,5%. Tìm chi phí vốn chủ sở hữu re sau thay đổi.
thời gian giao hàng có phân phối chuẩn với trung bình 32 min và độ lệch chuẩn 6 min. Tỉ lệ nào nằm giữa 26,3 và 44,3 min? Cho P dưới dạng số thập phân.
μ = 32σ = 6x1 = 26,3x2 = 44,3
P =
14.Phân phối chuẩnKhó
thời gian giao hàng có phân phối chuẩn với trung bình 32 min và độ lệch chuẩn 6 min. Tìm giá trị x mà 90% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 90).
μ = 32σ = 6P = 90%
x = min
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 6 phần tử có trung bình 31,5 và độ lệch chuẩn s = 9,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.
n = 6x̄ = 31,5s = 9,599%t(5) = 4,032
giới hạn dưới =
16.Khoảng tin cậyKhó
Đường kính của 21 trục gia công có độ lệch chuẩn mẫu 5,4 µm. Giả sử các đường kính tuân theo phân phối chuẩn, hãy tìm σ giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho độ lệch chuẩn tổng thể. Với df = 20, 2,5% của phân phối χ² nằm dưới 9,591 và 2,5% nằm trên 34,17.
n = 21s = 5,4 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 100 sinh viên có điểm trung bình 74,28 và độ lệch chuẩn mẫu 8. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 74,28s = 8n = 100
t =
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một mẫu 36 phép đo có trung bình 70,2. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 12. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.
x̄ = 70,2σ = 12n = 3695%
L =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 62?
n = 5ŷ = 62
x =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: PV = 300000 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Lãi suất tháng và số kỳ thanh toán
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·3 = 36
Khoản thanh toán
Giá trị hiện tại của N khoản thanh toán bằng nhau A là A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Cho nó bằng khoản vay và giải tìm A.
(1 + i)−N = 0,8508
A = 20 000·0,0045/(1 − 0,8508) = €603,02
Đáp số
A = €603,02
3.NPV và IRR
Đáp số: DPB = 4,086 năm
Thời gian hoàn vốn: thời gian cho đến khi dòng tiền tích lũy hoàn trả khoản đầu tư ban đầu. Giả định tiền về đều trong mỗi năm, nên phần cuối là một phần của năm. Thời gian hoàn vốn đơn giản bỏ qua giá trị thời gian của tiền; thời gian hoàn vốn có chiết khấu dùng các dòng tiền đã chiết khấu.
Dòng tiền đã chiết khấu và tích lũy
năm 1: 8 500/1,06 = 8 018,87 → Σ = 8 018,87
năm 2: 8 500/1,124 = 7 564,97 → Σ = 15 583,84
năm 3: 8 500/1,191 = 7 136,76 → Σ = 22 720,60
năm 4: 8 500/1,262 = 6 732,80 → Σ = 29 453,40
năm 5: 8 500/1,338 = 6 351,69 → Σ = 35 805,09
Phần của năm cuối
DPB = 4 + 546,60/6 351,69 = 4,086
Đáp số
DPB = 4,086 năm
Thời gian hoàn vốn có chiết khấu luôn dài hơn thời gian hoàn vốn đơn giản (3,529 năm).
4.NPV và IRR
Đáp số: NPV = −2580 €
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị hiện tại của niên kim tăng trưởng
((1,05)/(1,1))6 = 0,7564
PV = 20 000/(0,1 − 0,05)·(1 − 0,7564) = 97 420,38
NPV
NPV = 97 420,38 − 100 000 = −€2 579,62
Đáp số
NPV = −€2 579,62
NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.
5.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: ΔP = 45,31 €
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Thời lượng (duration): thời lượng Macaulay là thời gian trung bình có trọng số mà trái phiếu trả các dòng tiền của nó, với trọng số là giá trị hiện tại của các dòng tiền: D = Σ t·PVₜ/P. Thời lượng điều chỉnh D/(1 + y) ước lượng phần trăm thay đổi giá khi lợi suất thay đổi nhỏ: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Giá trị hiện tại của từng dòng tiền
t = 1: 30/1,04 = 28,85, t·PV = 28,85
t = 2: 30/1,082 = 27,74, t·PV = 55,47
t = 3: 30/1,125 = 26,67, t·PV = 80,01
t = 4: 30/1,17 = 25,64, t·PV = 102,58
t = 5: 30/1,217 = 24,66, t·PV = 123,29
t = 6: 1030/1,265 = 814,02, t·PV = 4 884,14
Thời lượng
P = 947,58
D = 5 274,34/947,58 = 5,566
Đáp số
D = 5,566 năm
7.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 8,097 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Beta có đòn bẩy (Hamada): nợ làm vốn chủ sở hữu rủi ro hơn. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), trong đó βU là beta của hoạt động kinh doanh không có nợ. Để chuyển beta sang cơ cấu vốn khác, hãy bỏ đòn bẩy trước rồi áp lại đòn bẩy với D/E mới.
Bỏ đòn bẩy của beta
βU = 1/(1 + 0,7·0,2) = 0,8772
Áp lại đòn bẩy ở D/E mới
βL = 0,8772·(1 + 0,7·1,25) = 1,645
Chi phí vốn chủ sở hữu (CAPM)
re = 1% + 1,645·5,5% = 10,05%
Đáp số
re = 10,05%
9.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 16,63
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (67,2 − 60)/12 = 0,6
Đáp số
z = 0,6
11.Xác suất
Đáp số: Var(X) = 4,91
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 0·0,35 + 2·0,35 + 4·0,1 + 6·0,2 = 2,3
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 0·0,35 + 4·0,35 + 16·0,1 + 36·0,2 = 10,2
Phương sai
Var(X) = 10,2 − 2,3² = 4,91
Đáp số
Var(X) = 4,91
12.Xác suất
Đáp số: σY = 4,497
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Độ phân tán của X
μ = 2,55, Var(X) = 2,248, σX = 1,499
Phép biến đổi tuyến tính
σY = |3|·1,499 = 4,497
Đáp số
σY = 4,497
Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 3·2,55 + 4 = 11,65.
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,8088
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
điểm z
z₁ = (26,3 − 32)/6 = −0,95
z₂ = (44,3 − 32)/6 = 2,05
Diện tích ở giữa
P = Φ(2,05) − Φ(−0,95) = 0,9798 − 0,1711 = 0,8088
Đáp số
P = 0,8088
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 39,69 min
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
z của phân vị
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Quay lại x
x = 32 + 1,282·6 = 39,69 min
Đáp số
x = 39,69 min
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn dưới = 15,86
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 5, t = 4,032
Sai số biên
E = 4,032·9,5/√6 = 15,64
Khoảng
31,5 ± 15,64 → [15,86, 47,14]
Đáp số
giới hạn dưới = 15,86
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: σ = 7,798 µm
Khoảng cho một phương sai: (n − 1)s²/σ² có phân phối χ² với n − 1 bậc tự do. Khoảng 95% cho σ² chạy từ (n − 1)s² chia cho giá trị χ² trên (2,5% nằm trên nó) đến (n − 1)s² chia cho giá trị χ² dưới (2,5% nằm dưới nó); khoảng cho σ là căn bậc hai của cả hai giới hạn. Nó không đối xứng quanh s.
Tổng bình phương
(n − 1)s² = 20·5,4² = 583,2
Các giới hạn cho σ²
583,2/34,17 = 17,07
583,2/9,591 = 60,81
Giới hạn cho σ
σ = √60,81 = 7,798 µm
Đáp số
σ = 7,798 µm
Khoảng 95% cho σ: [4,131, 7,798] µm.
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = −0,9
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8
Thống kê kiểm định
t = (74,28 − 75)/0,8 = −0,9
Đáp số
t = −0,9
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: L = 66,28
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số biên
E = 1,96·12/√36 = 3,92
Giới hạn của khoảng
L = 70,2 − 3,92 = 66,28
Đáp số
L = 66,28
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9808
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 1673 − 25·320/5 = 73
Sxx = 135 − 25²/5 = 10
Syy = 21034 − 320²/5 = 554
Hệ số tương quan
r = 73/√(10·554) = 0,9808
Đáp số
r = 0,9808
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: x = 24,41
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 287/5 = 57,4
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 294
Đường hồi quy
b = 294/90 = 3,267
a = 57,4 − 3,267·23 = −17,73
ŷ = −17,73 + 3,267·x
Giải tìm x
x = (62 − (−17,73))/3,267 = 24,41
Đáp số
x = 24,41
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.