Một thẻ tín dụng tính lãi suất danh nghĩa 15% mỗi năm, ghép lãi hằng ngày. Tìm lãi suất thực hằng năm EAR theo phần trăm.
r = 15%m = 365
EAR = %
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Một khoản vay €15 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 6 năm với lãi suất 4,8% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tổng tiền lãi I phải trả trong suốt thời hạn khoản vay là bao nhiêu?
P = €15 0004,8% / 12N = 72
I = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một khoản đầu tư €60 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 4: €15 000, €17 000, €27 000, €13 000. Chi phí vốn là 8%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
Một dự án tốn €40 000 và mang lại €29 000, €24 000, €20 000 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.
CF0 = −40 000CF1 = 29 000CF2 = 24 000CF3 = 20 000
IRR = %
5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình
Bạn mua một trái phiếu còn 12 năm đến ngày đáo hạn (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 6%) khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 5,5%. Một năm sau, ngay sau khi nhận trái tức đầu tiên, bạn bán nó khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 4,5%. Tìm tỉ suất sinh lợi trong thời gian nắm giữ HPR theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 6%n = 12y0 = 5,5%y1 = 4,5%
HPR = %
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả trái tức hằng năm 4,5% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 5 năm. Nó được bán với giá €936. Tìm lợi suất đến ngày đáo hạn YTM theo lãi suất hằng năm (gấp đôi lợi suất nửa năm), theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 4,5% (2×)n = 5P = €936
YTM = %
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty có tỉ lệ nợ trên vốn chủ sở hữu (theo giá trị thị trường) là 0,5. Chi phí vốn chủ sở hữu của nó là 12%, chi phí nợ trước thuế là 4% và thuế suất là 21%. Tìm WACC.
D/E = 0,5re = 12%rd = 4%T = 21%
WACC = %
8.CAPM và WACCKhó
Một công ty có vốn chủ sở hữu với giá trị thị trường €6 000 000 và chi phí vốn chủ sở hữu 9%. Nợ của công ty gồm 4 000 trái phiếu (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 4%, còn 11 năm đến ngày đáo hạn) giao dịch ở mức €1 045 mỗi trái phiếu. Thuế suất là 21%. Tìm WACC, dùng lợi suất đến ngày đáo hạn của các trái phiếu làm chi phí nợ trước thuế.
X có phân bố chuẩn với trung bình 250 g và độ lệch chuẩn 4 g; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 500 g và độ lệch chuẩn 9 g. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 735,2 g. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 735,2 g
P =
14.Phân phối chuẩnKhó
Thời gian một vòng X của vận động viên A và Y của vận động viên B là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 52 s và độ lệch chuẩn 4 s, Y có trung bình 48 s và độ lệch chuẩn 3 s. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Một khoảng tin cậy 90% cho một trung bình, dựa trên 50 quan sát và σ đã biết, có sai số biên 3,2. Sai số biên E₂ của một khoảng 99% dựa trên 450 quan sát là bao nhiêu?
90%n₁ = 50E₁ = 3,299%n₂ = 450
E₂ =
16.Khoảng tin cậyKhó
Đường kính của 21 trục gia công có độ lệch chuẩn mẫu 5,6 µm. Giả sử các đường kính tuân theo phân phối chuẩn, hãy tìm σ giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho độ lệch chuẩn tổng thể. Với df = 20, 2,5% của phân phối χ² nằm dưới 9,591 và 2,5% nằm trên 34,17.
n = 21s = 5,6 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Hai dây chuyền sản xuất cùng một chi tiết. Dây chuyền 1: một mẫu 80 chi tiết có chiều dài trung bình 129,5 mm, và độ lệch chuẩn đã biết của dây chuyền là 18 mm. Dây chuyền 2: một mẫu 80 chi tiết có trung bình 126,4 mm, độ lệch chuẩn đã biết 11 mm. Tìm thống kê kiểm định z cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (dây chuyền 1 trừ dây chuyền 2).
Trong một thử nghiệm, 30 trong 150 bệnh nhân dùng phương pháp điều trị A hồi phục, và 15 trong 100 bệnh nhân dùng phương pháp B. Dùng tỉ lệ gộp, tìm thống kê kiểm định z cho H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 30n₁ = 150x₂ = 15n₂ = 100
z =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.
n = 6
r² =
20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (1,5, 29) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.
n = 5(1,5, 29)
e =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: EAR = 16,18 %
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Lãi suất mỗi kỳ
r/m = 0,15/365 = 0,000411
Ghép lãi trong một năm
EAR = (1 + 0,000411)365 − 1 = 1,162 − 1 = 16,18%
Đáp số
EAR = 16,18%
EAR luôn cao hơn lãi suất danh nghĩa khi lãi được ghép nhiều hơn một lần mỗi năm.
2.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: I = 2293 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Khoản thanh toán hằng tháng
i = 0,004, N = 72
A = 15 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)−72) = €240,18
Tổng tiền lãi
I = N·A − P = 72·240,2 − 15 000 = €2 293,31
Đáp số
I = €2 293,31
3.NPV và IRR
Đáp số: NPV = −547,5 €
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị hiện tại của từng dòng tiền
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 15 000/1,08 = 13 888,89
CF2/(1 + 0,08)2 = 17 000/1,166 = 14 574,76
CF3/(1 + 0,08)3 = 27 000/1,26 = 21 433,47
CF4/(1 + 0,08)4 = 13 000/1,36 = 9 555,39
Cộng lại
NPV = €−547,49
Đáp số
NPV = €−547,49
NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.
4.NPV và IRR
Đáp số: IRR = 40,52 %
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Kẹp IRR
NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.
NPV(40%) = 247,81
NPV(45%) = −2 024,68
Thu hẹp dần
Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Mỗi kỳ
C = €22,50, N = 10
Giải bằng số
i = 3% mỗi nửa năm
YTM
YTM = 2·3% = 6,001%
Đáp số
YTM = 6,001%
7.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 9,053 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Các tỉ trọng từ D/E
E/V = 1/(1 + 0,5) = 0,6667
D/V = 0,5/(1 + 0,5) = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·12% + 0,3333·4%·(1 − 0,21) = 9,053%
Đáp số
WACC = 9,053%
8.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 6,44 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Chi phí nợ (YTM)
1045 = 40·(1 − (1 + y)−11)/y + 1000/(1 + y)11
y = 3,5%
Giá trị thị trường
D = 4 000·€1 045 = €4 180 000
V = €10 180 000, E/V = 0,5894, D/V = 0,4106
WACC
WACC = 0,5894·9% + 0,4106·3,5%·(1 − 0,21) = 6,44%
Đáp số
WACC = 6,44%
9.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 18,07
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (74 − 70)/10 = 0,4
Đáp số
z = 0,4
11.Xác suất
Đáp số: P = 0,7674
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Biến cố bù
P(không có mặt sáu) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Đáp số
P = 0,7674
12.Xác suất
Đáp số: σY = 0,4717
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Độ phân tán của X
μ = 2,9, Var(X) = 0,89, σX = 0,9434
Phép biến đổi tuyến tính
σY = |0,5|·0,9434 = 0,4717
Đáp số
σY = 0,4717
Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 0,5·2,9 + 20 = 21,45.
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,9332
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Chuẩn hóa
z = (735,2 − 750)/9,849 = −1,5
Đuôi trên
P = 1 − Φ(−1,5) = 1 − 0,06681 = 0,9332
Đáp số
P = 0,9332
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,7881
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Chuẩn hóa
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Xác suất
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Đáp số
P = 0,7881
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: E₂ = 1,67
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Tỉ số các sai số biên
E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(50/450) = 0,522
Sai số biên mới
E₂ = 3,2·0,522 = 1,67
Đáp số
E₂ = 1,67
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: σ = 8,087 µm
Khoảng cho một phương sai: (n − 1)s²/σ² có phân phối χ² với n − 1 bậc tự do. Khoảng 95% cho σ² chạy từ (n − 1)s² chia cho giá trị χ² trên (2,5% nằm trên nó) đến (n − 1)s² chia cho giá trị χ² dưới (2,5% nằm dưới nó); khoảng cho σ là căn bậc hai của cả hai giới hạn. Nó không đối xứng quanh s.
Tổng bình phương
(n − 1)s² = 20·5,6² = 627,2
Các giới hạn cho σ²
627,2/34,17 = 18,36
627,2/9,591 = 65,39
Giới hạn cho σ
σ = √65,39 = 8,087 µm
Đáp số
σ = 8,087 µm
Khoảng 95% cho σ: [4,284, 8,087] µm.
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: z = 1,314
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Sai số chuẩn của hiệu
SE = √(18²/80 + 11²/80) = √5,562 = 2,358
Thống kê kiểm định
z = (129,5 − 126,4)/2,358 = 1,314
Đáp số
z = 1,314
|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: z = 1,008
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Các tỉ lệ mẫu
p̂₁ = 30/150 = 0,2
p̂₂ = 15/100 = 0,15
p̂ = 45/250 = 0,18
Sai số chuẩn theo H₀
SE = √(0,18·0,82·(1/150 + 1/100)) = 0,0496
Thống kê kiểm định
z = (0,2 − 0,15)/0,0496 = 1,008
Đáp số
z = 1,008
|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r² = 0,6865
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 135/6 = 22,5
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −14,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 17,5
Hệ số xác định
r² = −14,5²/(17,5·17,5) = 0,6865
Đáp số
r² = 0,6865
Khoảng 68,65% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: e = 3,1
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 107/5 = 21,4
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30
Đường hồi quy
b = −30/10 = −3
a = 21,4 − (−3)·3 = 30,4
ŷ = 30,4 − 3·x
Giá trị dự đoán
ŷ = 30,4 + (−3)·1,5 = 25,9
Phần dư
e = 29 − 25,9 = 3,1
Đáp số
e = 3,1
Điểm nằm phía trên đường thẳng.
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.