Một niên kim trả €2 000 vào cuối mỗi năm trong 12 năm. Lãi suất là 7% mỗi năm. Tìm giá trị hiện tại PV của niên kim.
A = €2 000i = 7%n = 12
PV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Một khoản vay €30 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 4 năm với lãi suất 6% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tổng tiền lãi I phải trả trong suốt thời hạn khoản vay là bao nhiêu?
P = €30 0006% / 12N = 48
I = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một chiếc máy tốn €80 000 hôm nay. Nó tạo ra €19 000 vào cuối mỗi năm trong 5 năm và sau đó có thể bán với giá €16 000. Chi phí vốn là 10%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
C0 = €80 000CF = €19 000S = €16 000n = 5r = 10%
NPV = €
4.NPV và IRRKhó
Dự án A tốn €10 000 và mang về €5 500, €4 000, €2 500 vào cuối các năm từ 1 đến 3. Dự án B tốn €15 000 và mang về €4 000, €6 000, €8 000. Tìm tỉ suất giao nhau r* mà tại đó hai dự án có cùng NPV, theo phần trăm.
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 đáo hạn sau 6 năm và trả trái tức hằng năm. Nó được bán với giá €950 khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 5,5%. Tìm lãi suất trái tức c theo phần trăm.
F = €1 000n = 6P = €950YTM = 5,5%
c = %
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu còn 10 năm đến ngày đáo hạn (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 6%) được bán với giá €1 077. Tổ chức phát hành có thể mua lại nó sau 4 năm với giá mua lại €1 060. Tìm lợi suất đến ngày mua lại YTC theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 6%P = €1 077giá mua lại = €1 060mua lại sau 4 năm
YTC = %
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty có tỉ lệ nợ trên vốn chủ sở hữu (theo giá trị thị trường) là 0,75. Chi phí vốn chủ sở hữu của nó là 13%, chi phí nợ trước thuế là 3% và thuế suất là 28%. Tìm WACC.
D/E = 0,75re = 13%rd = 3%T = 28%
WACC = %
8.CAPM và WACCKhó
Một công ty có 1 000 000 cổ phiếu giá €32,00 mỗi cổ phiếu và 20 000 trái phiếu giao dịch ở €1 050 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 6% và thuế suất là 25%. Beta của cổ phiếu là 1,2, lãi suất phi rủi ro 1% và lợi suất thị trường 7%. Tìm WACC.
β = 1,2rf = 1%rm = 7%rd = 6%T = 25%
WACC = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 50, 38, 38, 47, 56, 43, 39.
n = 7
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 70 và độ lệch chuẩn 5. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 73 là bao nhiêu?
μ = 70σ = 5x = 73
P =
11.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35
Var(X) =
12.Xác suấtKhó
Một trò chơi tốn €10 mỗi lượt. Bạn thắng €20 với xác suất 0,1 và €100 với xác suất 0,01; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.
tiền cược = €10€20: p = 0,1€100: p = 0,01
E(G) = €
13.Phân phối chuẩnTrung bình
điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tỉ lệ nào nằm giữa 88 và 122,5 điểm? Cho P dưới dạng số thập phân.
μ = 100σ = 15x1 = 88x2 = 122,5
P =
14.Phân phối chuẩnKhó
tuổi thọ pin có phân phối chuẩn với trung bình 500 h và độ lệch chuẩn 40 h. Tìm giá trị x mà 90% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 90).
μ = 500σ = 40P = 90%
x = h
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 20 phần tử có trung bình 40 và độ lệch chuẩn s = 4,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.
n = 20x̄ = 40s = 4,595%t(19) = 2,093
giới hạn dưới =
16.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 29. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 2,5?
σ = 29E = 2,599%
n =
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Hai dây chuyền sản xuất cùng một chi tiết. Dây chuyền 1: một mẫu 80 chi tiết có chiều dài trung bình 109,5 mm, và độ lệch chuẩn đã biết của dây chuyền là 20 mm. Dây chuyền 2: một mẫu 80 chi tiết có trung bình 111,1 mm, độ lệch chuẩn đã biết 14 mm. Tìm thống kê kiểm định z cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (dây chuyền 1 trừ dây chuyền 2).
Một kiểm định z một phía của H₀: μ = 50 với H₁: μ > 50 được thực hiện ở mức α = 0,01 với một mẫu 25; độ lệch chuẩn đã biết là 7,5. Trên thực tế trung bình là 53,3. Tìm lực của kiểm định 1 − β theo phần trăm.
μ₀ = 50μ = 53,3σ = 7,5n = 25α = 0,01
1 − β = %
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Tìm hệ số tương quan Pearson r.
n = 5
r =
20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 65?
n = 6ŷ = 65
x =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: PV = 15885 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Hệ số niên kim
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,444)/0,07 = 7,943
Giá trị hiện tại
PV = 2 000·7,943 = €15 885,37
Đáp số
PV = €15 885,37
2.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: I = 3818 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Khoản thanh toán hằng tháng
i = 0,005, N = 48
A = 30 000·0,005/(1 − (1 + 0,005)−48) = €704,55
Tổng tiền lãi
I = N·A − P = 48·704,6 − 30 000 = €3 818,44
Đáp số
I = €3 818,44
3.NPV và IRR
Đáp số: NPV = 1960 €
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị hiện tại của các dòng tiền hằng năm
19 000·3,791 = 72 024,95
Giá trị hiện tại của giá trị thanh lý
16 000/1,611 = 9 934,74
NPV
NPV = −80 000 + 72 024,95 + 9 934,74 = €1 959,69
Đáp số
NPV = €1 959,69
4.NPV và IRR
Đáp số: r* = 5,886 %
Tỉ suất giao nhau: tỉ suất chiết khấu mà tại đó hai dự án có cùng NPV. Nó là IRR của hiệu các dòng tiền của chúng (B − A). Dưới mức này, dự án có dòng tiền lớn hơn đến muộn hơn có NPV cao hơn; trên mức này, dự án kia thắng.
Hiệu các dòng tiền
ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 4 000 − 5 500 = −1 500
ΔCF2 = 6 000 − 4 000 = 2 000
ΔCF3 = 8 000 − 2 500 = 5 500
IRR của hiệu
NPVΔ(5%) = 136,59
NPVΔ(6%) = −17,20
r* = 5,886%
Đáp số
r* = 5,886%
Kiểm tra: tại 5,886% cả hai NPV đều là €867,70.
5.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: c = 4,499 %
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Giá trị hiện tại của mệnh giá
1000·(1 + 0,055)−6 = €725,25
Trái tức
C = (950 − 725,25)/4,996 = €44,99
Lãi suất coupon
c = 44,99/1000 = 4,499%
Đáp số
c = 4,499%
6.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: YTC = 5,206 %
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Phương trình cho lợi suất
1077 = 60·(1 − (1 + y)−4)/y + 1060/(1 + y)4
Giải bằng số
y = 5%: €1 084,82
y = 6%: €1 047,53
YTC = 5,206%
Đáp số
YTC = 5,206%
Lợi suất đến ngày đáo hạn là 5,003%. Nhà đầu tư vào trái phiếu giá cao hơn mệnh giá kỳ vọng nó sẽ bị mua lại, nên lợi suất đến ngày mua lại thấp hơn là con số thực tế hơn.
7.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 8,354 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Các tỉ trọng từ D/E
E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714
D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·13% + 0,4286·3%·(1 − 0,28) = 8,354%
Đáp số
WACC = 8,354%
8.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 6,734 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = 0,6
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257
Đáp số
P = 0,7257
11.Xác suất
Đáp số: Var(X) = 0,7
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7
Phương sai
Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7
Đáp số
Var(X) = 0,7
12.Xác suất
Đáp số: E(G) = −7 €
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Các kết quả ròng
G: 10 (p = 0,1), 90 (p = 0,01), −10 (p = 0,89)
Giá trị kỳ vọng
E(G) = 10·0,1 + 90·0,01 − 10·0,89 = −7 €
Đáp số
E(G) = −7 €
Giá trị âm nghĩa là trung bình bạn thua tiền.
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,7213
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
điểm z
z₁ = (88 − 100)/15 = −0,8
z₂ = (122,5 − 100)/15 = 1,5
Diện tích ở giữa
P = Φ(1,5) − Φ(−0,8) = 0,9332 − 0,2119 = 0,7213
Đáp số
P = 0,7213
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 551,3 h
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
z của phân vị
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Quay lại x
x = 500 + 1,282·40 = 551,26 h
Đáp số
x = 551,26 h
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn dưới = 37,89
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 19, t = 2,093
Sai số biên
E = 2,093·4,5/√20 = 2,106
Khoảng
40 ± 2,106 → [37,89, 42,11]
Đáp số
giới hạn dưới = 37,89
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 893
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (2,576·29/2,5)² = 892,9
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 893
Đáp số
n = 893
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: z = −0,5862
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Sai số chuẩn của hiệu
SE = √(20²/80 + 14²/80) = √7,45 = 2,729
Thống kê kiểm định
z = (109,5 − 111,1)/2,729 = −0,5862
Đáp số
z = −0,5862
|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: 1 − β = 44,99 %
Lực của một kiểm định: lực = 1 − β là xác suất bác bỏ H₀ khi nó sai. Tìm ngưỡng x̄c từ μ₀ và z_α, rồi tính xác suất rơi vượt quá x̄c bằng trung bình thật: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Trung bình mẫu tới hạn
SE = 7,5/√25 = 1,5
x̄c = 50 + 2,326·1,5 = 53,49
z theo trung bình thật
z = (53,49 − 53,3)/1,5 = 0,126
Công suất
lực của kiểm định = P(Z > 0,126) = 44,99%
1 − β = 44,99%
Đáp số
1 − β = 44,99%
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,9942
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 645/5 = 129
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 519
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3028
Hệ số tương quan
r = 519/√(90·3028) = 0,9942
Đáp số
r = 0,9942
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: x = 5,468
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 335/6 = 55,83
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 81,5
Đường hồi quy
b = 81,5/17,5 = 4,657
a = 55,83 − 4,657·3,5 = 39,53
ŷ = 39,53 + 4,657·x
Giải tìm x
x = (65 − 39,53)/4,657 = 5,468
Đáp số
x = 5,468
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.