Bạn cần €40 000 sau 3 năm. Một tài khoản trả lãi 4% mỗi năm, ghép lãi hằng quý. Hôm nay bạn phải gửi bao nhiêu? Tìm giá trị hiện tại PV.
FV = €40 0004% / 4n = 3
PV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Bạn muốn có €75 000 sau 8 năm. Bạn gửi cùng một số tiền vào cuối mỗi tháng vào một tài khoản trả lãi 2,4% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm khoản tiền gửi hằng tháng A.
FV = €75 0002,4% / 12N = 96
A = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một khoản đầu tư €75 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 3: €32 000, €27 000, €22 000. Chi phí vốn là 5%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
Dự án A tốn €20 000 và mang về €11 500, €7 500, €4 500 vào cuối các năm từ 1 đến 3. Dự án B tốn €22 000 và mang về €6 000, €8 500, €11 500. Tìm tỉ suất giao nhau r* mà tại đó hai dự án có cùng NPV, theo phần trăm.
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả coupon hằng năm 4,5% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 3 năm. Lợi suất đáo hạn là 6% mỗi năm. Tìm giá P của trái phiếu.
F = €1 000coupon = 4,5%YTM = 6%n = 3
P = €
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 và coupon hằng năm 8% đáo hạn sau 8 năm và được bán với giá €1 125. Tìm lợi suất đáo hạn YTM theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 8%n = 8P = €1 125
YTM = %
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €10 000 000 và nợ trị giá €6 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 10%, chi phí nợ trước thuế là 4,5% và thuế suất là 21%. Tìm WACC.
Một công ty có 4 000 000 cổ phiếu giá €40,00 mỗi cổ phiếu và 20 000 trái phiếu giao dịch ở €980 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 7% và thuế suất là 30%. Beta của cổ phiếu là 1,5, lãi suất phi rủi ro 1,5% và lợi suất thị trường 7,5%. Tìm WACC.
β = 1,5rf = 1,5%rm = 7,5%rd = 7%T = 30%
WACC = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 53, 55, 18, 59, 53, 38.
n = 6
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 70 và độ lệch chuẩn 12. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 60,4 là bao nhiêu?
μ = 70σ = 12x = 60,4
P =
11.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35
σ =
12.Xác suấtKhó
Một trò chơi tốn €2 mỗi lượt. Bạn thắng €4 với xác suất 0,15 và €100 với xác suất 0,01; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.
tiền cược = €2€4: p = 0,15€100: p = 0,01
E(G) = €
13.Phân phối chuẩnTrung bình
X có phân bố chuẩn với trung bình 120 mm và độ lệch chuẩn 0,3 mm; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 80 mm và độ lệch chuẩn 0,4 mm. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 199,8 mm. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 199,8 mm
P =
14.Phân phối chuẩnKhó
Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,02 mm và độ lệch chuẩn 0,01 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,01 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
lỗ: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Huyết áp của 12 bệnh nhân được đo trước và sau một đợt điều trị. Các hiệu d = trước − sau (mmHg) có trung bình −3,7 và độ lệch chuẩn 3,8. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 90% cho hiệu trung bình.
n = 12d̄ = −3,7sd = 3,890%t(11) = 1,796
giới hạn trên = mmHg
16.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 21. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 5?
σ = 21E = 595%
n =
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Hai phương pháp giảng dạy được so sánh. Nhóm 1: 15 học sinh, điểm trung bình 82,5, độ lệch chuẩn 3. Nhóm 2: 7 học sinh, điểm trung bình 90,3, độ lệch chuẩn 9. Giả sử các phương sai tổng thể bằng nhau và dùng kiểm định t hai mẫu gộp. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (nhóm 1 trừ nhóm 2).
n₁ = 15x̄₁ = 82,5s₁ = 3n₂ = 7x̄₂ = 90,3s₂ = 9
t =
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Trong một thử nghiệm, 120 trong 200 bệnh nhân dùng phương pháp điều trị A hồi phục, và 38 trong 80 bệnh nhân dùng phương pháp B. Dùng tỉ lệ gộp, tìm thống kê kiểm định z cho H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 120n₁ = 200x₂ = 38n₂ = 80
z =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.
n = 5
r² =
20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 114?
n = 6ŷ = 114
x =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: PV = 35498 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Lãi suất và số kỳ
i = 0,04/4 = 0,01
N = 4·3 = 12
Giá trị hiện tại
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,127 = €35 497,97
Đáp số
PV = €35 497,97
2.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: A = 709,4 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị hiện tại của từng dòng tiền
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 32 000/1,05 = 30 476,19
CF2/(1 + 0,05)2 = 27 000/1,103 = 24 489,80
CF3/(1 + 0,05)3 = 22 000/1,158 = 19 004,43
Cộng lại
NPV = €−1 029,59
Đáp số
NPV = €−1 029,59
NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.
4.NPV và IRR
Đáp số: r* = 3,057 %
Tỉ suất giao nhau: tỉ suất chiết khấu mà tại đó hai dự án có cùng NPV. Nó là IRR của hiệu các dòng tiền của chúng (B − A). Dưới mức này, dự án có dòng tiền lớn hơn đến muộn hơn có NPV cao hơn; trên mức này, dự án kia thắng.
Hiệu các dòng tiền
ΔCF0 = −22 000 − (−20 000) = −2 000
ΔCF1 = 6 000 − 11 500 = −5 500
ΔCF2 = 8 500 − 7 500 = 1 000
ΔCF3 = 11 500 − 4 500 = 7 000
IRR của hiệu
NPVΔ(3%) = 8,78
NPVΔ(4%) = −140,93
r* = 3,057%
Đáp số
r* = 3,057%
Kiểm tra: tại 3,057% cả hai NPV đều là €2 331,67.
5.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: P = 959,4 €
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Mỗi kỳ
C = €22,50, i = 0,03, N = 6
Giá trị hiện tại của các khoản coupon
€22,50·(1 − 0,8375)/0,03 = €121,89
Giá trị hiện tại của mệnh giá
€1 000·0,8375 = €837,48
Giá
P = €959,37
Đáp số
P = €959,37
Lợi suất cao hơn lãi suất coupon, nên trái phiếu được bán với giá chiết khấu.
6.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: YTM = 5,988 %
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Phương trình cho lợi suất
€1 125 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Giải bằng số
P(5%) = €1 193,90, P(6%) = €1 124,20
YTM = 5,988%
Đáp số
YTM = 5,988%
7.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 7,583 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Trọng số
V = €16 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·10% + 0,375·4,5%·(1 − 0,21) = 7,583%
Đáp số
WACC = 7,583%
8.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 9,889 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = −0,8
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881
Đáp số
P = 0,7881
11.Xác suất
Đáp số: σ = 0,8047
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75
Phương sai
Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475
σ = √0,6475 = 0,8047
Đáp số
σ = 0,8047
12.Xác suất
Đáp số: E(G) = −0,4 €
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Các kết quả ròng
G: 2 (p = 0,15), 98 (p = 0,01), −2 (p = 0,84)
Giá trị kỳ vọng
E(G) = 2·0,15 + 98·0,01 − 2·0,84 = −0,4 €
Đáp số
E(G) = −0,4 €
Giá trị âm nghĩa là trung bình bạn thua tiền.
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,6554
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Chuẩn hóa
z = (199,8 − 200)/0,5 = −0,4
Đuôi trên
P = 1 − Φ(−0,4) = 1 − 0,3446 = 0,6554
Đáp số
P = 0,6554
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,9207
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01414 mm
Chuẩn hóa
z = (0 − 0,02)/0,01414 = −1,41
Xác suất
P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207
Đáp số
P = 0,9207
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn trên = −1,73 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Giá trị tới hạn
df = 11, t = 1,796
Sai số biên
E = 1,796·3,8/√12 = 1,97
Khoảng
−3,7 ± 1,97 → [−5,67, −1,73]
Đáp số
giới hạn trên = −1,73 mmHg
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 68
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (1,96·21/5)² = 67,77
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 68
Đáp số
n = 68
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = −3,08
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Phương sai gộp
sp² = (14·3² + 6·9²)/20 = 30,6
sp = 5,532
Sai số chuẩn
SE = 5,532·√(1/15 + 1/7) = 2,532
Thống kê kiểm định
t = (82,5 − 90,3)/2,532 = −3,08
Đáp số
t = −3,08
Với df = 20, giá trị tới hạn hai phía ở mức 5% là 2,086; |t| lớn hơn, nên H₀ bị bác bỏ.
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: z = 1,906
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Các tỉ lệ mẫu
p̂₁ = 120/200 = 0,6
p̂₂ = 38/80 = 0,475
p̂ = 158/280 = 0,5643
Sai số chuẩn theo H₀
SE = √(0,5643·0,4357·(1/200 + 1/80)) = 0,06559
Thống kê kiểm định
z = (0,6 − 0,475)/0,06559 = 1,906
Đáp số
z = 1,906
|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r² = 0,9141
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 80/5 = 16
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29
Syy = Σ(y − ȳ)² = 92
Hệ số xác định
r² = −29²/(10·92) = 0,9141
Đáp số
r² = 0,9141
Khoảng 91,41% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: x = 21,07
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 114/6 = 19
ȳ = 607/6 = 101,2
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 435
Đường hồi quy
b = 435/70 = 6,214
a = 101,2 − 6,214·19 = −16,9
ŷ = −16,9 + 6,214·x
Giải tìm x
x = (114 − (−16,9))/6,214 = 21,07
Đáp số
x = 21,07
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.