Bạn đầu tư €20 000 với lãi suất danh nghĩa 4,8% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm giá trị FV của khoản đầu tư sau 9 năm.
PV = €20 0004,8% / 12n = 9
FV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Một khoản vay thế chấp €300 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 20 năm với lãi suất 7,2% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Ngay sau khoản thanh toán cuối năm 2 còn nợ bao nhiêu? Tìm số dư nợ B.
P = €300 0007,2% / 12N = 240k = 24
B = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một chiếc máy tốn €20 000 hôm nay, dùng được 7 năm và tốn €1 500 mỗi năm để vận hành (trả vào cuối mỗi năm). Chi phí vốn là 6%. Tìm chi phí hàng năm tương đương EAC của nó.
C0 = €20 000M = €1 500n = 7r = 6%
EAC = €
4.NPV và IRRKhó
Một dự án tốn €20 000 và mang lại €10 500, €7 500, €11 000 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.
CF0 = −20 000CF1 = 10 500CF2 = 7 500CF3 = 11 000
IRR = %
5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình
Bạn mua một trái phiếu còn 11 năm đến ngày đáo hạn (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 5%) khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 9%. Một năm sau, ngay sau khi nhận trái tức đầu tiên, bạn bán nó khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 10%. Tìm tỉ suất sinh lợi trong thời gian nắm giữ HPR theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 5%n = 11y0 = 9%y1 = 10%
HPR = %
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 và coupon hằng năm 7% đáo hạn sau 4 năm và được bán với giá €920. Tìm lợi suất đáo hạn YTM theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 7%n = 4P = €920
YTM = %
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €8 000 000 và nợ trị giá €2 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 12%, chi phí nợ trước thuế là 4% và thuế suất là 30%. Tìm WACC.
Hoạt động kinh doanh của một công ty có beta không có đòn bẩy (beta tài sản) là 1,1. Công ty dự định tỉ lệ nợ trên vốn chủ sở hữu là 0,6. Thuế suất là 21%, lãi suất phi rủi ro là 1% và phần bù rủi ro thị trường là 7%. Tìm chi phí vốn chủ sở hữu re ở cơ cấu vốn mới.
βU = 1,1D/E = 0,6T = 21%rf = 1%rm − rf = 7%
re = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 26, 48, 16, 25, 53, 59, 53.
n = 7
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 70 và độ lệch chuẩn 5. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 60 là bao nhiêu?
μ = 70σ = 5x = 60
P =
11.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,15, 0,35, 0,1, 0,2
σ =
12.Xác suấtKhó
Một bài kiểm tra có 5 câu trắc nghiệm. Một học sinh đoán mò được mỗi câu đúng với xác suất 0,7, độc lập với nhau. Xác suất P để có đúng 4 câu trả lời đúng là bao nhiêu?
n = 5p = 0,7k = 4
P =
13.Phân phối chuẩnTrung bình
X có phân bố chuẩn với trung bình 120 mm và độ lệch chuẩn 0,3 mm; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 80 mm và độ lệch chuẩn 0,4 mm. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 200,3 mm. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 200,3 mm
P =
14.Phân phối chuẩnKhó
chiều cao của nam giới trưởng thành có phân phối chuẩn với trung bình 178 cm và độ lệch chuẩn 7 cm. Tìm giá trị x mà 10% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 10).
μ = 178σ = 7P = 10%
x = cm
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 20 phần tử có trung bình 97,5 và độ lệch chuẩn s = 2,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.
n = 20x̄ = 97,5s = 2,590%t(19) = 1,729
E =
16.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 34. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 2,5?
σ = 34E = 2,599%
n =
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Hai phương pháp giảng dạy được so sánh. Nhóm 1: 6 học sinh, điểm trung bình 97,5, độ lệch chuẩn 6,5. Nhóm 2: 8 học sinh, điểm trung bình 94,8, độ lệch chuẩn 6. Giả sử các phương sai tổng thể bằng nhau và dùng kiểm định t hai mẫu gộp. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (nhóm 1 trừ nhóm 2).
n₁ = 6x̄₁ = 97,5s₁ = 6,5n₂ = 8x̄₂ = 94,8s₂ = 6
t =
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một kiểm định z một phía của H₀: μ = 100 với H₁: μ < 100 được thực hiện ở mức α = 0.05 với một mẫu 100; độ lệch chuẩn đã biết là 5. Trên thực tế trung bình là 98.8. Tìm lực của kiểm định 1 − β theo phần trăm.
μ₀ = 100μ = 98,8σ = 5n = 100α = 0,05
1 − β = %
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 88?
n = 5ŷ = 88
x =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: FV = 30780 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Số còn nợ phải được trả hết đúng bằng các khoản thanh toán còn lại.
N − k = 240 − 24 = 216
B = 2362·(1 − (1 + 0,006)−216)/0,006 = €285 537,82
Đáp số
B = €285 537,82
3.NPV và IRR
Đáp số: EAC = 5083 €
Chi phí hàng năm tương đương: trải giá trị hiện tại của mọi chi phí trên tuổi thọ thành một khoản đều hằng năm (một niên kim): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Nó cho phép bạn so sánh các máy có tuổi thọ khác nhau.
Hệ số niên kim
(1 − 1,06−7)/0,06 = 5,582
Giá mua quy đổi theo năm
20 000/5,582 = 3 582,70
EAC
EAC = 3 582,70 + 1 500 = €5 082,70
Đáp số
EAC = €5 082,70
4.NPV và IRR
Đáp số: IRR = 21,03 %
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Kẹp IRR
NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.
NPV(20%) = 324,07
NPV(25%) = −1 168,00
Thu hẹp dần
Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Phương trình cho lợi suất
€920 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Giải bằng số
P(9%) = €935,21, P(10%) = €904,90
YTM = 9,496%
Đáp số
YTM = 9,496%
7.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 10,16 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Trọng số
V = €10 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
WACC
WACC = 0,8·12% + 0,2·4%·(1 − 0,3) = 10,16%
Đáp số
WACC = 10,16%
8.CAPM và WACC
Đáp số: re = 12,35 %
Beta có đòn bẩy (Hamada): nợ làm vốn chủ sở hữu rủi ro hơn. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), trong đó βU là beta của hoạt động kinh doanh không có nợ. Để chuyển beta sang cơ cấu vốn khác, hãy bỏ đòn bẩy trước rồi áp lại đòn bẩy với D/E mới.
Beta có đòn bẩy
βL = 1,1·(1 + 0,79·0,6) = 1,621
Chi phí vốn chủ sở hữu (CAPM)
re = 1% + 1,621·7% = 12,35%
Đáp số
re = 12,35%
9.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 17,13
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = −2
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Đáp số
P = 0,02275
11.Xác suất
Đáp số: σ = 1,359
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Công thức nhị thức
P(X = 4) = 5·0,74·0,31 = 5·0,2401·0,3 = 0,3601
Đáp số
P = 0,3601
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,2743
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Chuẩn hóa
z = (200,3 − 200)/0,5 = 0,6
Đuôi trên
P = 1 − Φ(0,6) = 1 − 0,7257 = 0,2743
Đáp số
P = 0,2743
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 169 cm
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
z của phân vị
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
Quay lại x
x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm
Đáp số
x = 169,03 cm
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 0,9665
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giá trị tới hạn
df = n − 1 = 19, t = 1,729
Sai số biên
E = 1,729·2,5/√20 = 0,9665
Đáp số
E = 0,9665
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 1228
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (2,576·34/2,5)² = 1227
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 1228
Đáp số
n = 1228
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = 0,8046
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Phương sai gộp
sp² = (5·6,5² + 7·6²)/12 = 38,6
sp = 6,213
Sai số chuẩn
SE = 6,213·√(1/6 + 1/8) = 3,356
Thống kê kiểm định
t = (97,5 − 94,8)/3,356 = 0,8046
Đáp số
t = 0,8046
Với df = 12, giá trị tới hạn hai phía ở mức 5% là 2,179; |t| nhỏ hơn, nên H₀ không bị bác bỏ.
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: 1 − β = 77,49 %
Lực của một kiểm định: lực = 1 − β là xác suất bác bỏ H₀ khi nó sai. Tìm ngưỡng x̄c từ μ₀ và z_α, rồi tính xác suất rơi vượt quá x̄c bằng trung bình thật: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Trung bình mẫu tới hạn
SE = 5/√100 = 0,5
x̄c = 100 − 1,645·0,5 = 99,18
z theo trung bình thật
z = (99,18 − 98,8)/0,5 = 0,755
Công suất
lực của kiểm định = P(Z < 0.755) = 77.49%
1 − β = 77,49%
Đáp số
1 − β = 77,49%
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,986
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 17495 − 147·679/6 = 859,5
Sxx = 3759 − 147²/6 = 157,5
Syy = 81665 − 679²/6 = 4825
Hệ số tương quan
r = 859,5/√(157,5·4825) = 0,986
Đáp số
r = 0,986
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: x = 18,94
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 468/5 = 93,6
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 212
Đường hồi quy
b = 212/40 = 5,3
a = 93,6 − 5,3·20 = −12,4
ŷ = −12,4 + 5,3·x
Giải tìm x
x = (88 − (−12,4))/5,3 = 18,94
Đáp số
x = 18,94
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.