Luyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Giá và lợi suất trái phiếu

Giá trái phiếu: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Nửa năm: C/2, y/2 và 2n kỳ
Lợi suất hiện hành: C/P
Giá và lợi suất: lợi suất tăng → giá giảm

Phương pháp

Tìm coupon mỗi kỳ và lợi suất mỗi kỳ.
Giá = giá trị hiện tại của các khoản coupon (một niên kim) + giá trị hiện tại của mệnh giá.
Với coupon nửa năm, dùng một nửa coupon, một nửa lợi suất và gấp đôi số kỳ.
Kiểm tra: nếu lợi suất cao hơn lãi suất coupon, giá thấp hơn mệnh giá.

CAPM và WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Giá trị doanh nghiệp: V = E + D

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Một niên kim trả €500 vào cuối mỗi năm trong 8 năm. Lãi suất là 5% mỗi năm. Tìm giá trị hiện tại PV của niên kim.

A = €500i = 5%n = 8

PV = €

2.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Bạn gửi €6 000 vào đầu mỗi năm trong 29 năm, khoản đầu tiên gửi hôm nay. Tài khoản trả lãi 7% mỗi năm. Cuối năm 29 trong tài khoản có bao nhiêu? Tìm FV.

A = €6 000i = 7%n = 29

FV = €

3.NPV và IRRTrung bình

Một khoản đầu tư €60 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 3: €20 000, €17 000, €26 000. Chi phí vốn là 9%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

r = 9%CF₀ = −60 000CF₁ = 20 000CF₂ = 17 000CF₃ = 26 000

NPV = €

4.NPV và IRRKhó

Một khoản đầu tư €50 000 mang về €6 000 vào cuối mỗi năm trong 10 năm. Tìm tỉ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

C₀ = €50 000CF = €6 000n = 10

IRR = %

5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình

Bạn mua một trái phiếu còn 3 năm đến ngày đáo hạn (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 4%) khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 9%. Một năm sau, ngay sau khi nhận trái tức đầu tiên, bạn bán nó khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 10,5%. Tìm tỉ suất sinh lợi trong thời gian nắm giữ HPR theo phần trăm.

F = €1 000coupon = 4%n = 3y₀ = 9%y₁ = 10,5%

HPR = %

6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó

Một trái phiếu còn 19 năm đến ngày đáo hạn (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 9%) được bán với giá €1 268. Tổ chức phát hành có thể mua lại nó sau 5 năm với giá mua lại €1 090. Tìm lợi suất đến ngày mua lại YTC theo phần trăm.

F = €1 000coupon = 9%P = €1 268giá mua lại = €1 090mua lại sau 5 năm

YTC = %

7.CAPM và WACCTrung bình

Một công ty được tài trợ bằng cổ phiếu phổ thông trị giá €6 000 000, cổ phiếu ưu đãi trị giá €2 000 000 và nợ trị giá €3 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 9%, chi phí cổ phiếu ưu đãi 8% và chi phí nợ trước thuế 6%. Thuế suất là 30%. Tìm WACC.

E = €6 000 000P_s = €2 000 000D = €3 000 000r_e = 9%r_p = 8%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

8.CAPM và WACCKhó

Một công ty có 2 000 000 cổ phiếu giá €52,50 mỗi cổ phiếu và 5 000 trái phiếu giao dịch ở €960 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 4% và thuế suất là 30%. Beta của cổ phiếu là 1,2, lãi suất phi rủi ro 1,5% và lợi suất thị trường 6,5%. Tìm WACC.

β = 1,2r_f = 1,5%r_m = 6,5%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

9.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 14, 24, 42, 31, 49.

n = 5

s =

10.Thống kê mô tảKhó

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 500 và độ lệch chuẩn 60. Tìm điểm z z của điểm số 428.

μ = 500σ = 60x = 428

z =

11.Xác suấtTrung bình

Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,25, 0,15, 0,3

σ =

12.Xác suấtKhó

X có phân bố như hiển thị, và Y = 2X + 1. Tìm độ lệch chuẩn σ_Y của Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,2, 0,05, 0,3, 0,2Y = 2X + 1

σ_Y =

13.Phân phối chuẩnTrung bình

X có phân bố chuẩn với trung bình 60 s và độ lệch chuẩn 5 s; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 45 s và độ lệch chuẩn 4 s. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 98,6 s. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 98,6 s

P =

14.Phân phối chuẩnKhó

Khối lượng X của một sản phẩm từ dây chuyền 1 và Y từ dây chuyền 2 là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 500 g và độ lệch chuẩn 8 g, Y có trung bình 490 g và độ lệch chuẩn 6 g. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

15.Khoảng tin cậyTrung bình

Huyết áp của 20 bệnh nhân được đo trước và sau một đợt điều trị. Các hiệu d = trước − sau (mmHg) có trung bình 9,7 và độ lệch chuẩn 3,4. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho hiệu trung bình.

n = 20d̄ = 9,7s_d = 3,495%t(19) = 2,093

giới hạn trên = mmHg

16.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 17. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 2?

σ = 17E = 299%

n =

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 16 sinh viên có điểm trung bình 41 và độ lệch chuẩn mẫu 20. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 41s = 20n = 16

t =

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Cỡ mẫu phải lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 2,5? Độ lệch chuẩn là 10. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.

σ = 10E = 2,595%

n =

19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.

n = 6

r² =

20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 5.

n = 5x = 5

ŷ =

3Dung dịch

1.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: PV = 3232 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Hệ số niên kim

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,6768)/0,05 = 6,463

Giá trị hiện tại

PV = 500·6,463 = €3 231,61

Đáp số

PV = €3 231,61

2.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 560765 €

Hệ số niên kim thông thường

((1 + 0,07)²⁹ − 1)/0,07 = 87,35

Niên kim đầu kỳ

Mỗi khoản tiền gửi được đầu tư thêm một năm.

FV = 6 000·87,35·1,07 = €560 764,72

Đáp số

FV = €560 764,72

3.NPV và IRR

Đáp số: NPV = −7266 €

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Giá trị hiện tại của từng dòng tiền

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 20 000/1,09 = 18 348,62

CF₂/(1 + 0,09)² = 17 000/1,188 = 14 308,56

CF₃/(1 + 0,09)³ = 26 000/1,295 = 20 076,77

Cộng lại

NPV = €−7 266,05

Đáp số

NPV = €−7 266,05

NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.

4.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 3,46 %

Hệ số niên kim cần thiết

(1 − (1 + i)⁻¹⁰)/i = 50 000/6 000 = 8,333

Giải tìm lãi suất

Hệ số niên kim giảm khi lãi suất tăng; hãy chặn khoảng giá trị của lãi suất rồi thu hẹp dần.

i = 3%: 8,53

i = 4%: 8,111

IRR = 3,46%

Đáp số

IRR = 3,46%

5.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: HPR = 6,241 %

Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.

Giá mua

C = €40,00, i = 0,09, N = 3

€40,00·(1 − 0,7722)/0,09 + €1 000·0,7722 = €101,25 + €772,18 = €873,44

Giá bán

C = €40,00, i = 0,105, N = 2

€40,00·(1 − 0,819)/0,105 + €1 000·0,819 = €68,96 + €818,98 = €887,94

Tỉ suất sinh lợi trong thời gian nắm giữ

HPR = (40 + 887,94 − 873,44)/873,44 = 6,241%

Đáp số

HPR = 6,241%

6.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: YTC = 4,534 %

Phương trình cho lợi suất

1268 = 90·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1090/(1 + y)⁵

Giải bằng số

y = 4%: €1 296,56

y = 5%: €1 243,70

YTC = 4,534%

Đáp số

YTC = 4,534%

Lợi suất đến ngày đáo hạn là 6,503%. Nhà đầu tư vào trái phiếu giá cao hơn mệnh giá kỳ vọng nó sẽ bị mua lại, nên lợi suất đến ngày mua lại thấp hơn là con số thực tế hơn.

7.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 7,509 %

Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).

Trọng số

V = 6 000 000 + 2 000 000 + 3 000 000 = €11 000 000

E/V = 0,5455, P_s/V = 0,1818, D/V = 0,2727

WACC

WACC = 0,5455·9% + 0,1818·8% + 0,2727·6%·(1 − 0,3) = 7,509%

Đáp số

WACC = 7,509%

8.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 7,295 %

Giá trị thị trường

E = 2 000 000·€52,50 = €105 000 000

D = 5 000·€960 = €4 800 000

Chi phí vốn chủ sở hữu (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,2·5% = 7,5%

Trọng số

V = €109 800 000, E/V = 0,9563, D/V = 0,04372

WACC

WACC = 0,9563·7,5% + 0,04372·4%·(1 − 0,3) = 7,295%

Đáp số

WACC = 7,295%

9.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 13,95

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 160/5 = 32

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−18)² + (−8)² + 10² + (−1)² + 17² = 778

Độ lệch chuẩn

s = √(778/4) = 13,95

Đáp số

s = 13,95

10.Thống kê mô tả

Đáp số: z = −1,2

Chuẩn hóa

z = (428 − 500)/60 = −1,2

Đáp số

z = −1,2

11.Xác suất

Đáp số: σ = 12,03

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 10·0,3 + 20·0,25 + 30·0,15 + 40·0,3 = 24,5

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 100·0,3 + 400·0,25 + 900·0,15 + 1600·0,3 = 745

Phương sai

Var(X) = 745 − 24,5² = 144,8

σ = √144,8 = 12,03

Đáp số

σ = 12,03

12.Xác suất

Đáp số: σ_Y = 3,033

Độ phân tán của X

μ = 3, Var(X) = 2,3, σ_X = 1,517

Phép biến đổi tuyến tính

σ_Y = |2|·1,517 = 3,033

Đáp số

σ_Y = 3,033

Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 2·3 + 1 = 7.

13.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,8413

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Chuẩn hóa

z = (98,6 − 105)/6,403 = −1

Đuôi trên

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Đáp số

P = 0,8413

14.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,8413

Phân bố của hiệu

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Chuẩn hóa

z = (0 − 10)/10 = −1

Xác suất

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Đáp số

P = 0,8413

15.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 11,29 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Giá trị tới hạn

df = 19, t = 2,093

Sai số biên

E = 2,093·3,4/√20 = 1,591

Khoảng

9,7 ± 1,591 → [8,109, 11,29]

Đáp số

giới hạn trên = 11,29 mmHg

16.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 480

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = (2,576·17/2)² = 479,4

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 480

Đáp số

n = 480

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −1,8

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

Thống kê kiểm định

t = (41 − 50)/5 = −1,8

Đáp số

t = −1,8

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: n = 62

Giải tìm n

n = (1,96·10/2,5)² = 61,47

Làm tròn lên

n = 62

Đáp số

n = 62

19.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r² = 0,9835

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 496/6 = 82,67

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 234

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 795,3

Hệ số xác định

r² = 234²/(70·795,3) = 0,9835

Đáp số

r² = 0,9835

Khoảng 98,35% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

20.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: ŷ = 15,5

Các giá trị trung bình

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 89/5 = 17,8

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92

Đường hồi quy

b = 92/40 = 2,3

a = 17,8 − 2,3·6 = 4

ŷ = 4 + 2,3·x

Dự đoán

ŷ = 4 + 2,3·5 = 15,5

Đáp số

ŷ = 15,5

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income