Bạn đầu tư €5 000 với lãi suất 4% mỗi năm ghép lãi liên tục. Tìm giá trị FV sau 3 năm.
PV = €5 000r = 4%t = 3
FV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Bạn vay €25 000 với lãi suất 7,2% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng, và trả €350 vào cuối mỗi tháng. Cần bao nhiêu tháng để trả hết khoản vay (khoản thanh toán cuối có thể nhỏ hơn)? Cho số lần thanh toán N.
P = €25 000A = €3507,2% / 12
N = lần thanh toán
3.NPV và IRRTrung bình
Một khoản đầu tư €60 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 4: €19 000, €23 000, €18 000, €25 000. Chi phí vốn là 6%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
Một dự án tốn €10 000 và mang lại €7 500, €4 500, €4 000 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.
CF0 = −10 000CF1 = 7 500CF2 = 4 500CF3 = 4 000
IRR = %
5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả coupon hằng năm 8% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 9 năm. Lợi suất đáo hạn là 5% mỗi năm. Tìm giá P của trái phiếu.
F = €1 000coupon = 8%YTM = 5%n = 9
P = €
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 và coupon hằng năm 4% đáo hạn sau 8 năm và được bán với giá €1 145. Tìm lợi suất đáo hạn YTM theo phần trăm.
F = €1 000coupon = 4%n = 8P = €1 145
YTM = %
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty có tỉ lệ nợ trên vốn chủ sở hữu (theo giá trị thị trường) là 0,4. Chi phí vốn chủ sở hữu của nó là 13%, chi phí nợ trước thuế là 3% và thuế suất là 20%. Tìm WACC.
D/E = 0,4re = 13%rd = 3%T = 20%
WACC = %
8.CAPM và WACCKhó
Một công ty có vốn chủ sở hữu với giá trị thị trường €12 000 000 và chi phí vốn chủ sở hữu 13%. Nợ của công ty gồm 2 000 trái phiếu (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 4%, còn 7 năm đến ngày đáo hạn) giao dịch ở mức €1 031 mỗi trái phiếu. Thuế suất là 30%. Tìm WACC, dùng lợi suất đến ngày đáo hạn của các trái phiếu làm chi phí nợ trước thuế.
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 14, 29, 28, 53, 49, 31, 60.
n = 7
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 170 và độ lệch chuẩn 15. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 200 là bao nhiêu?
μ = 170σ = 15x = 200
P =
11.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,25, 0,3, 0,05, 0,15
Var(X) =
12.Xác suấtKhó
Một trò chơi tốn €3 mỗi lượt. Bạn thắng €15 với xác suất 0,1 và €60 với xác suất 0,02; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.
tiền cược = €3€15: p = 0,1€60: p = 0,02
E(G) = €
13.Phân phối chuẩnTrung bình
khối lượng các túi có phân phối chuẩn với trung bình 250 g và độ lệch chuẩn 5 g. Tỉ lệ nào nằm giữa 250 và 257,5 g? Cho P dưới dạng số thập phân.
μ = 250σ = 5x1 = 250x2 = 257,5
P =
14.Phân phối chuẩnKhó
chiều cao của nam giới trưởng thành có phân phối chuẩn với trung bình 178 cm và độ lệch chuẩn 7 cm. Tìm giá trị x mà 25% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 25).
μ = 178σ = 7P = 25%
x = cm
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Thời lượng pin của hai mẫu điện thoại được so sánh. Mẫu 1: 30 điện thoại, trung bình 74,5 h, độ lệch chuẩn đã biết 20 h. Mẫu 2: 60 điện thoại, trung bình 70,5 h, độ lệch chuẩn đã biết 6 h. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 90% cho μ₁ − μ₂.
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 16. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 1,5?
σ = 16E = 1,590%
n =
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 81 sinh viên có điểm trung bình 75,62 và độ lệch chuẩn mẫu 8. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 75,62s = 8n = 81
t =
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Một kiểm định z một phía ở mức α = 0,05 phải phát hiện được sự dịch chuyển 5 đơn vị của trung bình với lực 95%. Độ lệch chuẩn là 29. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.
α = 0,05lực của kiểm định = 95%δ = 5σ = 29zα = 1,645zβ = 1,645
n =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Tìm hệ số tương quan Pearson r.
n = 5
r =
20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 95?
n = 5ŷ = 95
x =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: FV = 5637 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Số mũ
r·t = 0,04·3 = 0,12
e0,12 = 1,127
Giá trị tương lai
FV = 5 000·1,127 = €5 637,48
Đáp số
FV = €5 637,48
2.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: N = 94 lần thanh toán
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Biến đổi công thức niên kim
i = 0,006
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,006/350 = 0,5714
Giải bằng logarit
N = −ln(0,5714)/ln(1,006) = 93,55
Làm tròn lên thành số lần thanh toán nguyên
93 khoản thanh toán đầy đủ còn để lại một khoản dư nhỏ, được xóa bằng khoản thanh toán cuối cùng nhỏ hơn.
N = 94
Đáp số
N = 94 lần thanh toán
3.NPV và IRR
Đáp số: NPV = 13310 €
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị hiện tại của từng dòng tiền
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 19 000/1,06 = 17 924,53
CF2/(1 + 0,06)2 = 23 000/1,124 = 20 469,92
CF3/(1 + 0,06)3 = 18 000/1,191 = 15 113,15
CF4/(1 + 0,06)4 = 25 000/1,262 = 19 802,34
Cộng lại
NPV = €13 309,94
Đáp số
NPV = €13 309,94
NPV dương, nên dự án sinh lời nhiều hơn mức yêu cầu.
4.NPV và IRR
Đáp số: IRR = 32,03 %
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Kẹp IRR
NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.
NPV(30%) = 252,62
NPV(35%) = −349,54
Thu hẹp dần
Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.
IRR ≈ 30 + 5·252,62/(252,62 − (−349,54)) = 32,1%
chính xác: NPV(32,03%) = 0 → IRR = 32,03%
Đáp số
IRR = 32,03%
5.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: P = 1215 €
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Mỗi kỳ
C = €40,00, i = 0,025, N = 18
Giá trị hiện tại của các khoản coupon
€40,00·(1 − 0,6412)/0,025 = €574,13
Giá trị hiện tại của mệnh giá
€1 000·0,6412 = €641,17
Giá
P = €1 215,30
Đáp số
P = €1 215,30
Lợi suất thấp hơn lãi suất coupon, nên trái phiếu được bán với giá cao hơn mệnh giá.
6.Giá và lợi suất trái phiếu
Đáp số: YTM = 2,019 %
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Phương trình cho lợi suất
€1 145 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Giải bằng số
P(2%) = €1 146,51, P(3%) = €1 070,20
YTM = 2,019%
Đáp số
YTM = 2,019%
7.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 9,971 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Các tỉ trọng từ D/E
E/V = 1/(1 + 0,4) = 0,7143
D/V = 0,4/(1 + 0,4) = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·13% + 0,2857·3%·(1 − 0,2) = 9,971%
Đáp số
WACC = 9,971%
8.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 11,45 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = 2
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
Đáp số
P = 0,9772
11.Xác suất
Đáp số: Var(X) = 1,74
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Các kết quả ròng
G: 12 (p = 0,1), 57 (p = 0,02), −3 (p = 0,88)
Giá trị kỳ vọng
E(G) = 12·0,1 + 57·0,02 − 3·0,88 = −0,3 €
Đáp số
E(G) = −0,3 €
Giá trị âm nghĩa là trung bình bạn thua tiền.
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,4332
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
điểm z
z₁ = (250 − 250)/5 = 0
z₂ = (257,5 − 250)/5 = 1,5
Diện tích ở giữa
P = Φ(1,5) − Φ(0) = 0,9332 − 0,5 = 0,4332
Đáp số
P = 0,4332
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: x = 173,3 cm
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
z của phân vị
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Quay lại x
x = 178 + −0,6745·7 = 173,28 cm
Đáp số
x = 173,28 cm
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 6,14 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Ước lượng điểm
x̄₁ − x̄₂ = 74,5 − 70,5 = 4
Sai số chuẩn
SE = √(20²/30 + 6²/60) = 3,733
Sai số biên
E = 1,645·3,733 = 6,14
Đáp số
E = 6,14 h
Khoảng chứa 0, nên dữ liệu không cho thấy sự khác biệt có ý nghĩa.
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 308
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (1,645·16/1,5)² = 307,9
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 308
Đáp số
n = 308
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = 0,6975
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 8/√81 = 8/9 = 0,8889
Thống kê kiểm định
t = (75,62 − 75)/0,8889 = 0,6975
Đáp số
t = 0,6975
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: n = 365
Cỡ mẫu cho một kiểm định: để phát hiện sự dịch chuyển thật δ với lực 1 − β trong kiểm định z một phía ở mức α, sai số chuẩn phải thỏa δ = (z_α + z_β)·σ/√n, nên n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = ((1,645 + 1,645)·29/5)² = 364,1
Làm tròn lên
n = 365
Đáp số
n = 365
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = 0,902
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 371/5 = 74,2
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 42
Syy = Σ(y − ȳ)² = 216,8
Hệ số tương quan
r = 42/√(10·216,8) = 0,902
Đáp số
r = 0,902
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: x = 19,01
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 448/5 = 89,6
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 214
Đường hồi quy
b = 214/40 = 5,35
a = 89,6 − 5,35·18 = −6,7
ŷ = −6,7 + 5,35·x
Giải tìm x
x = (95 − (−6,7))/5,35 = 19,01
Đáp số
x = 19,01
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.