Luyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Giá và lợi suất trái phiếu

Giá trái phiếu: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Nửa năm: C/2, y/2 và 2n kỳ
Lợi suất hiện hành: C/P
Giá và lợi suất: lợi suất tăng → giá giảm

Phương pháp

Tìm coupon mỗi kỳ và lợi suất mỗi kỳ.
Giá = giá trị hiện tại của các khoản coupon (một niên kim) + giá trị hiện tại của mệnh giá.
Với coupon nửa năm, dùng một nửa coupon, một nửa lợi suất và gấp đôi số kỳ.
Kiểm tra: nếu lợi suất cao hơn lãi suất coupon, giá thấp hơn mệnh giá.

CAPM và WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Giá trị doanh nghiệp: V = E + D

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn cần €5 000 sau 9 năm. Một tài khoản trả lãi 5% mỗi năm, ghép lãi hằng quý. Hôm nay bạn phải gửi bao nhiêu? Tìm giá trị hiện tại PV.

FV = €5 0005% / 4n = 9

PV = €

2.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Một khoản vay thế chấp €200 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 25 năm với lãi suất 3% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Ngay sau khoản thanh toán cuối năm 19 còn nợ bao nhiêu? Tìm số dư nợ B.

P = €200 0003% / 12N = 300k = 228

B = €

3.NPV và IRRTrung bình

Một dự án tốn €400 000 hôm nay. Nó tạo ra €29 000 vào cuối năm thứ nhất, và dòng tiền sau đó tăng 3% mỗi năm mãi mãi. Chi phí vốn là 9%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

C₀ = €400 000CF₁ = €29 000g = 3%r = 9%

NPV = €

4.NPV và IRRKhó

Dự án A tốn €30 000 và mang về €16 500, €12 000, €6 500 vào cuối các năm từ 1 đến 3. Dự án B tốn €32 000 và mang về €8 000, €12 500, €17 500. Tìm tỉ suất giao nhau r* mà tại đó hai dự án có cùng NPV, theo phần trăm.

A: −30 000, 16 500, 12 000, 6 500B: −32 000, 8 000, 12 500, 17 500

r* = %

5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả trái tức hằng năm 3% và đáo hạn sau 8 năm. Lợi suất đến ngày đáo hạn của nó thay đổi từ 7% thành 7,5%. Giá trái phiếu thay đổi bao nhiêu ΔP?

F = €1 000coupon = 3%n = 8y₁ = 7%y₂ = 7,5%

ΔP = €

6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó

Một trái phiếu còn 16 năm đến ngày đáo hạn (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 7%) được bán với giá €1 217. Tổ chức phát hành có thể mua lại nó sau 6 năm với giá mua lại €1 070. Tìm lợi suất đến ngày mua lại YTC theo phần trăm.

F = €1 000coupon = 7%P = €1 217giá mua lại = €1 070mua lại sau 6 năm

YTC = %

7.CAPM và WACCTrung bình

Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €6 000 000 và nợ trị giá €3 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 12%, chi phí nợ trước thuế là 5% và thuế suất là 30%. Tìm WACC.

E = €6 000 000D = €3 000 000r_e = 12%r_d = 5%T = 30%

WACC = %

8.CAPM và WACCKhó

Một công ty có 5 000 000 cổ phiếu giao dịch ở mức giá €51,00; giá trị sổ sách của vốn chủ sở hữu là €153 000 000. Công ty vừa trả cổ tức €2,20 mỗi cổ phiếu, và cổ tức tăng 2% mỗi năm. Nợ của công ty có giá trị thị trường €255 000 000 và chi phí trước thuế 3%. Thuế suất là 25%. Tìm WACC, dùng mô hình tăng trưởng cổ tức cho chi phí vốn chủ sở hữu.

N = 5 000 000P₀ = €51,00vốn chủ sở hữu theo sổ sách = €153 000 000D₀ = €2,20g = 2%D = €255 000 000r_d = 3%T = 25%

WACC = %

9.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 44, 28, 32, 45, 41, 57.

n = 6

s =

10.Thống kê mô tảKhó

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 170 và độ lệch chuẩn 12. Tìm điểm z z của điểm số 164.

μ = 170σ = 12x = 164

z =

11.Xác suấtTrung bình

Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

Var(X) =

12.Xác suấtKhó

Một bài kiểm tra có 7 câu trắc nghiệm. Một học sinh đoán mò được mỗi câu đúng với xác suất 0,6, độc lập với nhau. Xác suất P để có đúng 1 câu trả lời đúng là bao nhiêu?

n = 7p = 0,6k = 1

P =

13.Phân phối chuẩnTrung bình

Khối lượng của bao xi măng là độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 kg và độ lệch chuẩn 0,5 kg. Tìm xác suất P để tổng khối lượng của 9 trong số đó nhỏ hơn 227,3 kg. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 9< 227.3 kg

P =

14.Phân phối chuẩnKhó

điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 65 điểm và độ lệch chuẩn 10 điểm. Tìm giá trị x mà 95% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 95).

μ = 65σ = 10P = 95%

x = điểm

15.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 6 phần tử có trung bình 17,5 và độ lệch chuẩn s = 4. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.

n = 6x̄ = 17,5s = 495%t(5) = 2,571

E =

16.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 20. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 1,5?

σ = 20E = 1,599%

n =

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Hai dây chuyền sản xuất cùng một chi tiết. Dây chuyền 1: một mẫu 80 chi tiết có chiều dài trung bình 92,5 mm, và độ lệch chuẩn đã biết của dây chuyền là 17 mm. Dây chuyền 2: một mẫu 100 chi tiết có trung bình 90,6 mm, độ lệch chuẩn đã biết 3 mm. Tìm thống kê kiểm định z cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (dây chuyền 1 trừ dây chuyền 2).

n₁ = 80x̄₁ = 92,5 mmσ₁ = 17 mmn₂ = 100x̄₂ = 90,6 mmσ₂ = 3 mm

z =

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một mẫu 64 phép đo có trung bình 73,3. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 5. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.

x̄ = 73,3σ = 5n = 6490%

L =

19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Tìm hệ số tương quan Pearson r.

n = 5

r =

20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (2,5, 24) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 6(2,5, 24)

e =

3Dung dịch

1.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: PV = 3197 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất và số kỳ

i = 0,05/4 = 0,0125

N = 4·9 = 36

Giá trị hiện tại

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,564 = €3 197,05

Đáp số

PV = €3 197,05

2.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: B = 62422 €

Khoản thanh toán hằng tháng

i = 0,0025, N = 300

A = 200 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻³⁰⁰) = €948,42

Giá trị hiện tại của các khoản thanh toán còn lại

Số còn nợ phải được trả hết đúng bằng các khoản thanh toán còn lại.

N − k = 300 − 228 = 72

B = 948,4·(1 − (1 + 0,0025)⁻⁷²)/0,0025 = €62 422,20

Đáp số

B = €62 422,20

3.NPV và IRR

Đáp số: NPV = 83333 €

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Giá trị của các dòng tiền

PV = 29 000/(0,09 − 0,03) = 483 333,33

NPV

NPV = 483 333,33 − 400 000 = €83 333,33

Đáp số

NPV = €83 333,33

NPV dương, nên dự án sinh lời nhiều hơn mức yêu cầu.

4.NPV và IRR

Đáp số: r* = 4,323 %

Tỉ suất giao nhau: tỉ suất chiết khấu mà tại đó hai dự án có cùng NPV. Nó là IRR của hiệu các dòng tiền của chúng (B − A). Dưới mức này, dự án có dòng tiền lớn hơn đến muộn hơn có NPV cao hơn; trên mức này, dự án kia thắng.

Hiệu các dòng tiền

ΔCF₀ = −32 000 − (−30 000) = −2 000

ΔCF₁ = 8 000 − 16 500 = −8 500

ΔCF₂ = 12 500 − 12 000 = 500

ΔCF₃ = 17 500 − 6 500 = 11 000

IRR của hiệu

NPV_Δ(4%) = 68,16

NPV_Δ(5%) = −139,51

r* = 4,323%

Đáp số

r* = 4,323%

Kiểm tra: tại 4,323% cả hai NPV đều là €2 567,17.

5.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: ΔP = −24,73 €

Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.

Giá ở lợi suất cũ

C = €30,00, i = 0,07, N = 8

€30,00·(1 − 0,582)/0,07 + €1 000·0,582 = €179,14 + €582,01 = €761,15

Giá ở lợi suất mới

C = €30,00, i = 0,075, N = 8

€30,00·(1 − 0,5607)/0,075 + €1 000·0,5607 = €175,72 + €560,70 = €736,42

Thay đổi

ΔP = 736,42 − 761,15 = −€24,73

Đáp số

ΔP = −€24,73

6.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: YTC = 3,927 %

Phương trình cho lợi suất

1217 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1070/(1 + y)⁶

Giải bằng số

y = 3%: €1 275,31

y = 4%: €1 212,59

YTC = 3,927%

Đáp số

YTC = 3,927%

Lợi suất đến ngày đáo hạn là 4,998%. Nhà đầu tư vào trái phiếu giá cao hơn mệnh giá kỳ vọng nó sẽ bị mua lại, nên lợi suất đến ngày mua lại thấp hơn là con số thực tế hơn.

7.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 9,167 %

Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).

Trọng số

V = €9 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·12% + 0,3333·5%·(1 − 0,3) = 9,167%

Đáp số

WACC = 9,167%

8.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 4,325 %

Chi phí vốn chủ sở hữu

D₁ = 2,2·1,02 = €2,24

r_e = 2,244/51 + 0,02 = 6,4%

Giá trị thị trường

E = 5 000 000·€51,00 = €255 000 000

V = €510 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·6,4% + 0,5·3%·(1 − 0,25) = 4,325%

Đáp số

WACC = 4,325%

9.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 10,3

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 247/6 = 41,17

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 2,833² + (−13,17)² + (−9,167)² + 3,833² + (−0,1667)² + 15,83² = 530,8

Độ lệch chuẩn

s = √(530,8/5) = 10,3

Đáp số

s = 10,3

10.Thống kê mô tả

Đáp số: z = −0,5

Chuẩn hóa

z = (164 − 170)/12 = −0,5

Đáp số

z = −0,5

11.Xác suất

Đáp số: Var(X) = 0,6475

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Phương sai

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

Đáp số

Var(X) = 0,6475

12.Xác suất

Đáp số: P = 0,0172

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Công thức nhị thức

P(X = 1) = 7·0,6¹·0,4⁶ = 7·0,6·0,004096 = 0,0172

Đáp số

P = 0,0172

13.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,937

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ_T = 225 kg, σ_T = 0,5·√9 = 1,5 kg

Chuẩn hóa

z = (227,3 − 225)/1,5 = 1,53

Xác suất

P = Φ(1,53) = 0,937

Đáp số

P = 0,937

14.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 81,45 điểm

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

z của phân vị

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Quay lại x

x = 65 + 1,645·10 = 81,45 điểm

Đáp số

x = 81,45 điểm

15.Khoảng tin cậy

Đáp số: E = 4,198

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 5, t = 2,571

Sai số biên

E = 2,571·4/√6 = 4,198

Đáp số

E = 4,198

16.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 1180

Giải tìm n

n = (2,576·20/1,5)² = 1180

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 1180

Đáp số

n = 1180

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: z = 0,9874

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Sai số chuẩn của hiệu

SE = √(17²/80 + 3²/100) = √3,702 = 1,924

Thống kê kiểm định

z = (92,5 − 90,6)/1,924 = 0,9874

Đáp số

z = 0,9874

|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: L = 72,27

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số biên

E = 1,645·5/√64 = 1,028

Giới hạn của khoảng

L = 73,3 − 1,028 = 72,27

Đáp số

L = 72,27

19.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9946

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 89/5 = 17,8

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 108

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 294,8

Hệ số tương quan

r = 108/√(40·294,8) = 0,9946

Đáp số

r = 0,9946

20.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = 4,695

Các giá trị trung bình

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 110/6 = 18,33

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17

Đường hồi quy

b = −17/17,5 = −0,9714

a = 18,33 − (−0,9714)·3,5 = 21,73

ŷ = 21,73 − 0,9714·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 21,73 + (−0,9714)·2,5 = 19,3

Phần dư

e = 24 − 19,3 = 4,695

Đáp số

e = 4,695

Điểm nằm phía trên đường thẳng.

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income